Una tesis geométrica. Complementos

Final de trayecto. Aquí concluyo aquella serie que comenzara hace apenas un año con la pregunta ¿cómo trocear el espacio?

Es obvio que jamás pretendí establecer un despiece único ni exhaustivo. Pero sí establecer una modulación que permitiera, mediante unas leyes simples, trasladar la solución a otro punto cualquiera, por remoto que fuese, y saber que las mismas leyes establecidas podían aplicarse allí. Para ello lo mejor era partir de las leyes de la simetría.

Tras el último capítulo, solamente me queda adjuntar algunos enlaces a índices y conclusiones:

Índice general

Índice del tomo II

Índice de ilustraciones

Las conclusiones finales de la tesis:

Conclusiones

Y una visión más sintética, relacionada con los conceptos de dualidad explorados en la introducción que por primera vez he publicado en este blog:

Resumen de conclusiones

Para despedir el tema, me ha parecido interesante este enlace sobre los grupos de simetría en el plano. Los más de los azulejeros y fabricantes de papel pintado podrían utilizar estos grupos con un poco más de gracia.

Gracia divina que encontramos en Escher, con una de cuyas imágenes despido el tema. Este mosaico es para mí toda una metáfora: simboliza el difícil anhelo de armonizar el vuelo de la fantasía con el deseo de profundizar.

Una tesis geométrica. División pentagonal del espacio (y IV)

Aquí concluye el desglose de la tesis que me ocupó de forma absoluta aquel verano del 90. De ella me vengo ocupando aquí (mucho menos que entonces) en estos últimos tiempos.

Esta parte final es un repertorio de combinaciones hechas con los romboedros penrosianos de origen pentagonal que pueden rellenar el espacio con dos piezas distintas de caras idénticas.

El catálogo que ofrezco se limita a agrupar de todas las formas posibles estos dos romboedros alrededor de una arista. El rombo único tenía dos ángulos a (agudo) y b (obtuso), y con ellos construimos cuatro triedros diferentes, aaa, aab, abb, bbb.

Además de por estos ángulos de sus caras, un triedro está definido por los diedros de las aristas. Estos diedros son cuatro posibles, todos múltiplos de 18º, a=18º, b=36º, c=54º, d=72º.

En las cuatro últimas figuras de la entrega (II) podemos ver sus huellas sobre una esfera con centro en el vértice. Son triángulos esféricos de ángulos a y b iguales a los diedros del mismo nombre.

El romboedro estirado deja dos intersecciones. Una es aaa, con todos los ángulos de valor b=36º; la otra, abb, con un ángulo b=36º y los otros dos de valor c=54º. El achatado produce por su parte el triedro bbb con tres ángulos iguales de valor d=72º, y también el aab, con un ángulo d=72º y dos a=18º.

Los diedros b y c pertenecen al poliedro estirado, a y d al achatado.

Alrededor de una arista pueden agruparse ambos de diversos modos, y algunos por lo menos de ellos son compatibles con el adosado de caras de los romboedros. En el archivo (¡de toda confianza, aunque es tan pesado como yo!) que dejé en (I) están todas las combinaciones de los diedros. Una de ellas presenta diez planos de simetría, otra cinco, hay cinco con dos planos y veintiséis con uno solo, ademas de veintiuna asimétricas, con lo que se completan con otras tantas enantiomorfas (idénticas en el espejo). En total, son 75 posibilidades, aunque no hay garantía de que todas signifiquen acoplamientos, dado que son los rombos, y no únicamente los diedros, los que deben acoplarse.

Como ejemplo, con este romboedro estirado...

...puede hacerse este acoplamiento:

Y con este otro achatado...

...se hace este otro:

Finalmente, siguen algunos ejemplos de acoplamientos posibles de los triedros, y por lo tanto, de los romboedros correspondientes. De arriba abajo vamos girando el icosaedro de referencia sobre un eje horizontal. A la derecha, las caras opuestas de las que vemos a su izquierda. Comenzamos con diez diedros a:

Ocho diedros a y uno b, éste en una de sus dos posibilidades; aquí es la que corresponde al triedro aaa:

Otra vez ocho diedros a y uno b, pero ahora correspondiente al triedro abb:

Siete  diedros a y uno c, del triedro abb:

Por último, muestro una de las combinaciones posibles de cinco diedros a, uno b y uno c, existente en dos variedades enantiomorfas, por lo que la segunda se obtiene mirando la imagen en un espejo:

Una observación más: como un diedro puede corresponder a dos triedros distintos, en estas figuras se han dibujado ambas, con lo que se han obtenido 96 posibilidades de acoplamiento, aunque, repito, no todas son posibles para los rombos aunque lo sean para los diedros. Depurarlas exige un estudio figura a figura que está por hacer. Quienes hayan construido los poliedros y diedros pueden "entretenerse" en ello.

Y habría también que comprobar los acoplamientos alrededor de un vértice, que seguramente pueden obtenerse encajando entre sí algunas de estas figuras.

Queda la infinita exploración de cómo extender la red a partir de una figura. Para eso, lo ideal sería construir (industrialmente) los romboedros en serie en un material más sólido, como la madera. Podrían colorearse de modo diferente las dos formas y hasta obtener esculturas muy variadas.

A las ondas y a las redes inalámbricas confío estas sugerencias.

Nada mas, aunque aún publicaré enlaces a las conclusiones e índices.

Sigue y finaliza

Una tesis geométrica. División pentagonal del espacio (III)

Como continuación de la entrega anterior, y atendiendo a sus cuatro últimas figuras, veamos como se zampa el icosaedro a los dos romboedros.

Recordemos que los romboedros aplastado a y estirado b se construyen con rombos idénticos, con dos ángulos suplementarios. Llamaremos a al agudo y b al obtuso. Esto nos da en sus vértices cuatro triedros diferentes, que en aquellas figuras notamos como aaa, aab, abb, bbb y que habíamos señalado sobre la esfera. Ahora encajaremos allí nuestros romboedros, llevando a su centro los vértices correspondientes.

Primer acoplamiento:

Segundo acoplamiento:

Tercer acoplamiento:

Cuarto acoplamiento:

Lo mismo, sustituyendo la esfera por el icosaedro.

Primer caso:

Segundo caso.

Tercer caso:

Cuarto caso:

Vistas del romboedro b relacionadas con el eje ternario que comparte con el icosaedro:

Las mismas vistas para el romboedro a:

Estas son las dimensiones de los dos romboedros, asociadas con el número de oro, F:

La pieza básica, irreductible a otras más simples y existente en dos formas simétricas, para el romboedro estirado:

Y para el achatado:

Continuará.

(sigue)

Una tesis geométrica. División pentagonal del espacio (II)

Si habéis montado los romboedros cuyo recortable dejé aquí, si también construisteis los triedros en los que alojarlos, si habéis probado a arracimar esos alojamientos, y en particular a lograr que compongan así un cerramiento completo de todo el espacio alrededor de un vértice, estaréis en las mejores condiciones para interpretar lo que sigue.

Se comprenderá mejor aún si los triedros se han fabricado sobre su versión con sectores circulares, pues entonces al agruparlos completarán una esfera, a la manera de esos farolillos de papel que se cuelgan en los cumpleaños infantiles. o como una versión movidilla y esférica de los panales de abejas.

Como hicimos en este lugar, partimos del pentágono para construir con su módulo un rombo y agrupamos cinco de estos rombos para formar una estrella. Ángulos del rombo, 72º y 108º.

También un decágono regular nos sirvió para construir con su módulo una estrella de 10 puntas, con diez rombos de ángulos 36º y 144º.

La simetría de estas dos figuras planas, que se pueden combinar de infinitas formas para formar un mosaico sin fin, induce a buscar algo semejante en el espacio. En un icosaedro, consideremos el triedro con vértice en su centro O y aristas V_i, V_j, V_k. V_i y V_j son vértices contiguos, mientras V_k no es contiguo ni opuesto a ninguno de ellos. Obsérvese que estas tres posiciones relativas (contiguos, opuestos o ninguna de ambas cosas) son las únicas posibles entre los vértices del icosaedro.

Situando en el extremo de cada arista segmentos iguales y paralelos a las otras dos, podemos construir un romboedro que ocupará una fracción del interior del icosaedro. en este caso 3/20.

Si logramos llenar de forma semejante el resto del poliedro, habremos puesto los fundamentos para ocupar todo el espacio. porque en cada vértice exterior podremos repetir el procedimiento, como hicimos para llenar el plano con los con los rombos de Penrose.

Esta es la misma figura desde otro punto de vista. En la parte inferior de la imagen se comprueba la coincidencia de una cara rómbica con un plano de simetría del icosaedro.

Los rombos son naturalmente idénticos, y esta es precisamente la propiedad que permite adosar dos romboedros. Estas son sus medidas, y comprobamos que, como corresponde a figuras derivadas del pentágono, en todas aparece el mágico número F, el número de oro:

Procede analizar, proyectando sobre una esfera concéntrica el icosaedro y sus 120 módulos elementales (seis triángulos rectángulos por cada cara), qué porción ocupan sobre la superficie las caras de los triedros que pueden formar romboedros, habida cuenta de que, como ya hemos visto, esas caras corresponden a planos de simetría que contienen cada uno dos vértices, y no hay muchas posibilidades diferentes para elegir.

Así, si los tres vértices son contiguos, ocuparemos 6/120 = 1/20, o una cara:

Si elegimos un vértice y dos contiguos a él que no lo sean, ocupamos también seis módulos o dos medias caras, igualmente 1/20 de la superficie total:

Con dos vértices contiguos y un tercero alejado de ambos, pero no opuesto a ninguno de ellos, se ocupa una cara completa y cuatro medias caras del icosaedro, 18/120 = 3/20 de su superficie. Es el caso que hemos considerado antes:

Finalmente, con tres vértices no contiguos ni opuestos se ocupan cuatro caras completas y seis medias caras. En total 7 caras o cuarenta y dos módulos, 42/120 = 7/20.

Continuaré tratando de encajar estas piezas. Mientras, podéis seguir encajando los triedros entre sí y los romboedros en ellos.

(sigue)

Una tesis geométrica. División pentagonal del espacio (I)

Si no seguísteis esta serie desde el principio, os recomiendo al menos volver al capítulo anterior sobre la división pentagonal del plano.

Allí se planteaba si el pentágono podría ser la base de una modulación del plano con piezas iguales, y se vio cómo bastaban dos piezas para lograrlo, si bien ni eran polígonos regulares ni permitían una ordenación única, sino un enlosado aleatorio con una infinita variabilidad.

A vuestra disposición dejo el capítulo, último de la tesis y de esta serie. He aquí el archivo para descargar. Es muy pesado (como yo) y no deja que Drive lo analice, pero es de toda confianza:

Ahora, en lugar de esperar al final, os presentaré las dos piezas, derivadas del icosaedro, que permiten completar este gran puzzle universal.

La primera pieza es un romboedro aplastado, sus seis caras rómbicas se relacionan con elementos geométricos del icosaedro, pudiendo colocarse tres de ellas en coincidencia con sus planos de simetría. Las vistas periféricas de la figura que sigue dejan ver, en todas ellas, caras vistas de canto que coinciden con planos de simetría también de canto. Llamaremos a esta pieza romboedro a:

Este otro romboedro estirado es más fácil de identificar, pues se clava como un cucuruho en una de las caras del icosaedro. Sus caras también coinciden con planos de simetría de dicho poliedro regular. Lo llamaré romboedro b:

De entrada, podéis construir ambos romboedros si recortáis la figura siguiente y pegáis sus pestañas. Podréis comprobar que las caras de ambos son idénticas, lo que permite adosar de varias formas tanto poliedros de una clase entre sí como de clase distinta. Arriba, el romboedro a aplastado, abajo, el romboedro b estirado:

Si los romboedros son dos, en cambio en cada uno existen dos tipos de vértices, porque al haber dos ángulos diferentes en el rombo, uno agudo y su suplementario obtuso, pueden formar diferentes triedros: con tres ángulos agudos, con dos agudos y uno obtuso, dos obtusos y uno agudo, tres obtusos. A la izquierda están las caras que conforman el vértice en cada caso; a la derecha, los mismos ángulos, cortados por una esfera de centro en él. Podréis comprobar que con estas piezas puede cerrarse todo el espacio alrededor de ese centro de la esfera:

Si hacéis un número suficiente de piezas, podréis combinarlas agrupándolas de muchas formas: alrededor de una arista, en torno a un vértice, cara contra cara...

En próximas entregas continuaremos con estos romboedros. No sé si es su nombre oficial, pero yo los llamo "romboedros de Penrose".

(sigue)

Una tesis geométrica. División pentagonal del plano

Todavía queda algo más por ver. Tras los últimos divertimentos  I ,  II  y  III  de mi persecución de las piezas simples del espacio cartesiano, acometo la recta final. Aquí está el enlace en que se puede descargar el capítulo siguiente.

Pues bien, sigue su justificación.

Las simetrías en el plano y el espacio son el fundamento para su parcelación ordenada, configurando estructuras repetitivas. El tema no puede agotarse en una tesis tan sucinta como la que comento en estos de artículos: quedan fuera muchas otras figuras, como los polígonos y poliedros estrellados. Yendo más allá, siempre me quedé con las ganas de profundizar en los politopos en dimensiones superiores a tres.

Ahora quiero presentar los dos últimos capítulos. En ellos me ocuparé de una cuestión que rondaba en alguna de las entregas anteriores. Porque si en las figuras que llenaban con regularidad el plano y el espacio aparecían simetrías binarias y ternarias, y derivadas de ellas también cuaternarias y senarias, ¿qué ocurre con las simetrías quinarias, que sin embargo, como hemos visto, aparecen en las divisiones de la superficie esférica? Porque efectivamente, sobre la superficie esférica y los poliedros que pueden proyectarse sobre ella, el pentágono juega un papel sorprendentemente parecido al del hexágono en el plano.

En el plano hemos hallado redes en las que había polígonos regulares de tres, cuatro, seis, ocho y doce lados. La simetría binaria aparece en todos, la ternaria en parte de ellos. Siempre el número de lados es divisible por dos, por tres o por ambos. De los números primos, aparte del dos y el tres, no hay más. No aparecen el cinco, el siete, el once... El nueve y otros múltiplos con más de un factor tres tampoco están presentes. ¿Por qué entonces fijarnos en el cinco y en el diez, su duplo inevitable por la omnipresente presencia del dos en la simetría de los polígonos regulares?

La razón es que el cinco y el diez aparecen sobre la superficie de la esfera y de los polígonos inscriptibles en ella. Sobre los balones de fútbol y en las cúpulas geodésicas, como ya hemos visto.

Vamos a ver que sí existen figuras relacionadas con el pentágono que son capaces de llenar el plano con sólo dos piezas simples, y también otras que, relacionadas con el dodecaedro, rellenan en condiciones similares el espacio. Eso sí: lo hacen con regularidad, en el sentido de que cumplen ciertas reglas simples, pero no con periodicidad, puesto que su forma de hacerlo es aleatoria, imprevisible e infinitamente variada.

El triángulo y el cuadrado pueden formar redes planas regulares, el hexágono es el último polígono de la serie regular que también puede hacerlo. El pentágono, en cambio, no puede: tres con un vértice común no llenan el ángulo completo, pero más de tres lo exceden, y hasta llegar a diez no volvemos a la posición de partida, después de dar tres vueltas alrededor del vértice:

Si ahora queremos obtener una red, desplazando la figura a un vértice contiguo, la tal red se nos complica y se hace más densa, especialmente si repetimos la figura completa alrededor del vértice de partida:

Dentro de esa red cada vez más tupida empezamos a descubrir ciertos rombos y caráteres, (me gusta imaginar que eran los que entretenían el alma de Merlín:

Los rombos son de dos clases, con ángulos agudos respectivos de 36º y 72º, y obtusos los suplementarios 144º y 108º. Dentro de ellos se agazapan los módulos buscados: sus ejes de simetría los dividen en cuatro triángulos rectángulos, con ángulos respectivos de 18º, 72º, 90º para uno y 36º, 54º, 90º para el otro; todos son múltiplos de a = 18º, lo que en función de a representa  a, 4a, 5a y 2a, 3a, 5a; obsérvese que son las dos formas posibles de dividir un ángulo recto en cinco partes y reconstruirlo como suma de dos ángulos múltiplos de ese quinto:

También podemos observar la aparición en la medidas de los rombos del enigmático número  F .

Ambos rombos pueden combinarse de infinitas formas para llenar el plano:

Aunque empleando uno solo esa variedad desaparece y lo que encontramos es una malla con un punto central, como aquí:

O aquí, empleando el otro rombo.

Bastaría añadir las diagonales cortas en la figura anterior para obtener el equivalente plano de algunas partes de una cúpula geodésica.

Desde luego, la variedad de vértices no es grande, y se reduce a 54 casos, resultado de descomponer el ángulo completo en partes múltiplos de 36º y 72º de todas las formas posibles. Estas son algunas:

Y aquí dejo otras:

Todas esas combinaciones de rombos alrededor de un vértice están en el enlace a la tesis que os he facilitado.

Sobre estos rombos, estudiados por Roger Penrose, encuentro algunos enlaces a la revista Investigación y Ciencia:

Los embaldosados de Penrose

Perovskitas

Pintura al óleo de Urs Schmid (1995) relativa a la teoría de Roger Penrose.

(sigue)

Una tesis geométrica. Módulos mínimos en el espacio (y III)

Una vez vistas aquí las piezas elementales del sistema de simetría del tetraedro y aquí las del sistema del cubo, veamos lo que pasa con el dodecaedro,

También en este caso tenemos planos de simetría que separan celdas en las que se pueden alojar hasta 120  piezas modulares asimétricas, existentes por lo tanto en dos variedades, "de la mano izquierda"  y "de la mano derecha". Efectivamente, si cada cara pentagonal es dividida en diez partes elementales, triángulos rectángulos, y cada una de ellos es la base de una pirámide con vértice en el centro del poliedro, doce veces diez es el número total de esos módulos.

Este es el poliedro básico D (5,5,5) del sistema, con todos sus elementos de simetría:

Siguen a continuación los ejes, 15 binarios, que van del centro de cada arista al de la arista opuesta, 10 ternarios, de cada vértice al opuesto, y 6 quinarios, que pasan por el centro de cada cara y por el de la opuesta:

Los planos de simetría definen las celdillas que alojan los módulos básicos:

Un módulo queda definido por el centro O del poliedro, El centro P de uno de los polígonos que son sus caras, el centro de un lado L de ese polígono y un vértice V del mismo. Y así 120 veces:

Los módulos de los otros poliedros del sistema se obtienen truncando el del básico por planos perpendiculares a los ejes ternarios. Este es el del dodecaedro truncado DT (3,10,10):

Módulo del icosidodecaedro ID (3,5,3,5):

El del muy futbolístico (*) icosaedro truncado IT (5,6,6):

Este otro es el módulo del dual icosaedro I (3,3,3), que inscrito en el básico lo toca con los vértices apenas en el centro de las caras:

La secuencia completa de todos ellos con sus módulos, unos dentro de otros:

Si además de los poliedros básico y dual hacemos intervenir en el desmoche al rombotriacontaedro, romboedro de 30 caras perpendiculares a los ejes binarios, resultan otros poliedros. Este es el módulo del rombiicosidodecaedro RID (3,4,5,4):

Y el del gran rombiicosidodecaedro GRID (4,6,10:

Aquí se muestra de qué forma se cortan los módulos de los poliedros básico y dual para obtener los de otros poliedros:

Y en estos otros módulos interviene también en la amputación el rombotriacontaedro:

A diferencia de los sistemas de simetría anteriores, este otro no permite llenar el espacio utilizando sus componentes. Pero sí puede ser utilizado como base para la construcción de cúpulas geodésicas, proyectando las caras (en azul en la figura) del icosaedro truncado sobre una esfera y descomponiéndolas en triángulos, como se ve a continuación:

La descomposición puede hacerse de diversas formas y en un número de triángulos muy variable. Lo importante es que todas las nuevas aristas sean cuerdas de arcos de círculo máximo (líneas geodésicas, que marcan las menores distancias entre puntos medidas sobre la esfera):

Materializando las aristas por barras y los vértices por nudos, se obtienen estructuras muy resistentes cuyo tamaño puede variar desde pequeñas cúpulas..

...a otras mucho mayores...

...que alberguen bajo ellas edificios enteros:

Esta cúpula de la Expo 67 de Montreal consta de dos capas, dos cúpulas concéntricas unidas entre sí por barras conformando una rígida red de tetraedros muy resistente:

La simetría quinaria del pentágono no parece adecuada para llenar ni el plano ni el espacio con regularidad, pero como hemos visto puede dividir indefinidamente la superficie esférica.

Aunque sobre la división basada en el pentágono del plano y el espacio no pongo aquí un punto final: aún no lo he dicho todo...

(sigue)