El dibujo en la ingeniería (V-i)

Todo llega, y también el final de mis comentarios sobre el libro Introducción ó Debuxo de Enxeñería que he venido desarrollando desde aquí en adelante. Y hasta aquí hemos llegado.

Al final de esta entrega definitiva vuelvo a dejar los enlaces para cada uno de sus capítulos.

Este último pretende ser una síntesis de lo más esencial. Veremos que las proyecciones que hemos analizado no agotan todas las posibles, siempre que aceptemos perspectivas euclídeas, proyecciones planas de espacios homogéneos pero no isótropos.

Rorik Smith (tomado de MarietaEstateQuieta)

Una perpectiva paralela euclídea, como afirma el teorema de Pohlke, es definida por tres rectas y tres escalas arbitrarias. Tres direcciones del plano definidas por dos ángulos a partir de un origen, y tres unidades de medida. Son cinco datos, pero en realidad estamos dando otros tres, que son los puntos del infinito de las tres rectas.

Pero si en lugar de tres puntos del infinito definimos las distancias al origen de tres puntos límite ¿qué tipo de perspectiva estaremos definiendo?

Veamos. Cuando sobre una recta medimos distancias iguales, de igual modo que la unidad se puede repetir infinitamente se puede tambien subdividir en cualquier número de partes también iguales, Habrá por lo tanto un punto del infinito y un punto medio de la unidad. Decimos que ambos están armónicamente separados de los puntos origen y unidad, o que forman una cuaterna armónica.

Pero si hacemos corresponder proyectivamente estos cuatro puntos (origen, medio, unidad e infinito) a otros cuatro en los que desplazamos el infinito hacia la unidad, también desplazaremos hacia ella el punto medio, manteniéndose la cuaterna armónica,

En tal caso, ya no podremos aplicar medidas iguales para obtener los puntos correspondientes a los de la recta original, porque las medidas se encogerán infinitamente hacia el punto límite mientras se alargan hacia el origen.

Y además de los cinco datos que, al obviar los puntos del infinito, parecían definir el primer caso (tres ejes definidos por dos ángulos y tres unidades sobre ellos), tenemos tres más, que son los puntos límite correspondientes a aquéllos.

Los tres puntos de fuga sobre los ejes definen un triángulo principal, cuyos lados son los horizontes de los planos coordenados definidos por esos ejes. Todas las rectas paralelas a esos horizontes son paralelas al plano de proyección, y los planos paralelos a él cortan a esos planos coordenados en un triángulo semejante al primero: el triángulo de las trazas.

Con estos elementos podemos construir perspectivas centrales euclídeas. Que sean centrales significa que se proyectarán sobre el plano del dibujo desde un punto propio, no del infinito, mediante una radiación de rectas no paralelas. Que sean euclídeas, no cartesianas, significa que los ejes coordenados del espacio que se proyectan, no serán ortogonales, ni utilizarán escalas iguales. Se trataría de un espacio estirado y/o aplastado, homogéneo pero no isótropo, y en lugar de un cubo su unidad estará representada por un paralelepípedo oblicuo.

Veamos lo que relaciona a uno de los ejes del espacio con su proyección sobre el plano, y en general a cualquier recta con su proyección.

En el caso de la proyección paralela, se mantienen las proporciones entre ambas. Los puntos del infinito siguen siendo del infinito, y los puntos medios se conservan como tales. Pero en las proyecciones centrales no ocurre lo mismo: Al punto del infinito le corresponde ahora un punto propio, y tampoco el punto medio se conserva en la mitad de la unidad proyectada, sino que se acerca al mismo punto unidad que el infinito. 

Pasemos a ver en qué condiciones la perspectiva pasa a ser cartesiana, esto es, lo que se necesita para que la unidad del espacio pase de paralelepípedo oblicuo a cubo.

En primer lugar, el triedro que forman los ejes debe ser trirrectángulo, y eso se consigue cortándolo por un plano paralelo al del cuadro, o por el cuadro mismo, y separando las caras triangulares obtenidas, que han de ser triángulos rectángulos, de su posición coincidente en el vértice del triedro, girándolas sobre sus hipotenusas, para devolverlas luego a su posición original, localizando así el punto del plano de proyección sobre el que se levanta el vértice del triedro.

Pero además debemos localizar los puntos de fuga de las bisectrices de las caras del triedro, y para eso basta trazarlas sobre los triángulos rectángulos abatidos y localizar su intersección con el triángulo principal.

Cumpliendo estas dos condiciones, las perspectivas serán cartesianas.

Esto, que vale para las perspectivas centrales cartesianas, cuando el triángulo principal representa horizontes y el vértice del triedro el punto de vista, vale también para las perspectivas paralelas con rayos proyectantes perpendiculares al cuadro (perspectivas axonométricas ortogonales), en las que el triángulo representa las trazas de los planos coordenados y el triedro los ejes y planos coordenados, con origen en su vértice. 

A continuación, un método rápido para pasar, proyectivamente, de unos sistemas de proyección a otros. Comenzamos por el paso del "sistema diédrico con línea de tierra"  a una axonometría oblicua:

Ahora, los casos de coincidencia de uno de los ejes en ambos sistemas, o de dos de ellos:

Ahora, el paso del diédrico a la perspectiva aérea de tres puntos de fuga:

O a una perspectiva oblicua de dos puntos de fuga:

Un caso más, para pasar proyectivamente de diédrico a perspectiva frontal:

Con esto remataba este conjunto de esquemas que pretendía unificar, mediante la proyectividad, todas las formas de representar sobre un plano un espacio continio y homogéneo (euclídeo) o bien, además, isótropo (cartesiano).

Finalizados estos comentarios sobre el libro en cuestión, os dejo de nuevo los enlaces a los documentos en formato PDF que lo forman:

Enxeñería, Deseño e Debuxo

Elementos da Forma

Trazados 2D

Trazados 3D

Trazado de Perspectivas

El dibujo en la ingeniería (V-h)

(La serie completa, a partir de aquí).

En el último episodio quedó establecido un método universal para realizar perspectivas centrales, basado en la utilización de un triángulo principal formado por los horizontes de tres planos ortogonales entre sí, cuyos vértices son los puntos de fuga de los tres ejes en que se cortan.

¿Se puede extender este planteamiento a los casos en que alguno de los vértices del triángulo se aleje infinitamente? Comprobaremos que así es.

Si observamos la imagen anterior, veremos que todas las verticales son paralelas, mientras las horizontales concurren en dos puntos de fuga. Esto evidencia que el tercer punto de fuga se ha alejado infinitamente. Como consecuencia, todas las verticales mantienen las proporciones, aunque no las medidas. 

Así que el horizonte es una línea perpendicular a las rectas verticales, y el triángulo principal tiene dos lados paralelos y un vértice inalcanzable: es birrectángulo. 

Tres cevianas del mismo que se corten en un punto permiten obtener todos los elementos límite de los planos y ejes de simetría del cubo unidad, aprovechando las cuaternas armónicas que forman:

Con estos elementos podemos ya construir perspectivas como esta:

La figura aparece muy deformada, pero no lo estará si colocamos el pundo de vista justo sobre el "horizonte horizontal", a una distancia y sobre un punto que viene dados por el triángulo rectángulo que aparece en la figura de la vista (26).

La figura siguiente presenta una deformación menor, porque ningún punto de la imagen está tan lejos como en la anterior del punto principal, que es el situado directamente bajo el punto de vista. Las formas se alargan cuando el rayo visual es muy oblicuo respecto al plano de proyección, tal como las sombras que proyecta una farola en una película expresionista o de cine negro.

Caso particular, si el punto de vista se sitúa en el punto medio entre los dos puntos de fuga horizontales:

Y una imagen construida con este esquema, que se verá correctamente si se respeta la posición del punto de vista:

En la que sigue el punto de vista está en su plano de simetría:

(De paso, dejo aquí un enlace a un procedimiento muy sencillo que ayuda a dibujar perpectivas con dos puntos de fuga).

¿Y si en lugar de uno son dos los puntos de fuga que se alejan infinitamente? Entonces un lado del triángulo principal es la recta del infinito, y estamos ante una perspectiva frontal. Todos los puntos límite del plano frontal (y de un plano principal de simetría) son puntos impropios:

Las figuras se verán correctamente colocando el ojo a la distancia adecuada sobre el único punto de fuga propio que nos queda:

Para terminar, esto pasa si una arista del cubo unidad atraviesa nuestro ojo, (como el rayo de sol por el cristalino, sin romperlo ni mancharlo):

En el último episodio de la serie veremos procedimientos rápidos para pasar de unas vistas a otras, mediante el uso del triedro que forman tres aristas del cubo unidad en cada una de ellas.

(continuará)