Perspectiva unificada XV

Todo lo que tiene principio tiene final. Y lo que comenzó aquí llega a su remate y termina definitivamente.

Siquiera por un instante me gustaría hacer salir del papel o de la pantalla estas figuras. El modo de lograrlo (o de intentarlo al menos) se explicaba en la anterior y penúltima entrega. 

Sirva esta ilustración de homenaje a Escher, que crea la ilusión sin más técnica que su genio y su maestría.

Variaciones sobre el tetraedro y el cubo:

El cubo y algunos descendientes suyos:

Y nada más, amigos. Muchas gracias por habernos acompañado.

Perspectiva unificada XIV

Al Método de perspectiva unificada le faltaba todavía algún complemento en este blog.

En este dibujo de Escher las figuras de dos manos se ayudan mutuamente a escapar del papel. No deja de ser una metáfora de la visión en relieve, en la que no dos manos, sino dos ojos, hacen salir del plano a sus imágenes.

En las figuras que siguen, para obtener la sensación de relieve buscada, hay que mirar cada imagen del par con el ojo correspondiente. Seguramente costará a quien no lo haya hecho nunca, pero varias técnicas pueden ayudar a lograrlo.

En primer lugar, la distancia entre las imágenes no ha de superar la que separa los ojos del espectador, para hacer posible la convergencia. Cumplida esta condición, Acercaremos el rostro al dibujo hasta que cada ojo encuentre la suya. Alejándonos depacio, llegaremos a ver una imagen central en relieve, flanqueada por dos planas.

Facilitaremos la tarea si interponemos entre ambos ojos, perpendiculara la plano, una hoja de papel, impidiendo que cada ojo vea la imagen destinada al otro.

Probad con esa figura de un paralelepípedo transparente, con una flecha en diagonal. Cuando logréis fundir los puntos origen de las flechas en uno solo, veréis el volumen. 

Aquí dos cubos, uno transparente (o "de alambre") y otro opaco:

Y aquí dos tetraedros. Fundid los pequeños puntos interiores. Al lograr la visión en relieve os daréis cuenta de que uno de ellos es transparente, o bien le falta la cara delantera:

Un cubo truncado transparente y otro opaco:

Octaedros, y más abajo las maclas de dos tetraedros cuyas aristas se cortan entre sí:

Octaedros truncados:

Cuboctaedros. No olvidéis fundir esos puntos que apenas se ven:

Dodecaedros transparentes inscritos en un cubo:

Los mismos, opacos:

 
Bellas figuras de dos icosidodecaedros transparentes inscritos en un mismo cubo:

Los mismos, opacos:

Dos icosaedros transparentes:

Icosaedros opacos. Seis aristas de cada uno pertenecen a las caras del cubo que los contiene:

Por último, estas figuras de dodecaedros en las que se han sustituido las caras por estrellas pentagonales. Podéis contemplar su interior:

Todavía falta un último suplemento...

(finalizará)

Perspectiva unificada XIII

Al Método de perspectiva unificada, cuya difusión en Internet comencé aquí, lo acompañaban algunas láminas, para mejor fijar ideas y experiencias.

Las primeras láminas son recortables, "modelos para armar". Para que, como ocurre con el libro de Julio Cortázar, donde el lector deja de serlo para convertirse en una parte activa que va destejiendo imagen tras imagen, frase tras trase, con el fin de descubrir el hilo conductor del relato y así dar forma y figura a los personajes del espacio literario, en este otro libro el disfrute será manejar los modelos en el espacio físico, sin dejarlos morir nebulosamente en un estrecho y olvidadizo reducto mental.

La fuerza de los modelos tangibles nos suele empujar (no creo ser un caso único) a pasar de la idea al acto, y en este caso del desarrollo plano al cuerpo en el espacio. Es este un estimulante proceso circular (¿dialéctico?) de ida y vuelta entre el sólido en su entorno y sus representaciones planas.

Un ejemplo es el mapa Dymaxion que, por la mínima deformación que se produce al proyectar la esfera sobre sus veinte caras triangulares, tanto desplegado como en su transformación poliédrica deja ver un planeta más acorde con la forma real de las masas continentales que la mayoría de los mapas globales.

Desplegado, nos enseña mejor que cualquier otro mapamundi la forma de los continentes, su dimensión relativa sin deformaciones sensibles y las rutas continentales entre los diferentes lugares, mostrando la longitud real de las distancias a recorrer. Si al montar el icosaedro obtenemos algo muy parecido a la esfera terrestre, en el mapa extendido vemos instantáneamente la magnitud real del Océano Ártico, que en otros mapas no se percibe, en relación con la Antártida y con el resto de las masas terrestres. La costa siberiana no es tan larga como nos parecía.

Esto funciona razonablemente bien porque icosaedro y dodecaedro, sólidos de superficie desarrollable, aproximan muy bien la esfera, que no lo es. Pero en cambio no pueden acoplarse entre ellos, como ocurre con el cubo, para llenar uniformemente el espacio. Por eso, para mis propósitos analíticos, y luego proyectivos, del espacio cartesiano --continuo, homogéneo, isótropo-- no me resultaban útiles.

Alguna vez me propuse extender el estudio del cubo y sus simetrías a estos poliedros, para obtener sus huellas en el infinito. El cubo tiene trece ejes de simetría (seis binarios, cuatro ternarios y tres cuaternarios), con otros tantos puntos del infinito, pero el dodecaedro tiene treinta y uno: quince binarios, diez ternarios y seis quinarios. Si habíamos imaginado aquellos trece puntos límite como otros tantos astros proyectados en el firmamento, la constelación del dodecaedro sería aún más espléndida, con sus ejes proyectándose en el cielo nocturno de un universo dodecaédrico. ¡Qué imagen seductora! bueno, al menos para mí...

Las intersecciones entre las caras del dodecaedro y el icosaedro producen, además del poliedro convexo, otros estrellados, creándose una maraña de caras y aristas bastante compleja. El cubo, en cambio, carece de prolongaciones estrelladas, y su simplicísima geometría lo hace idóneo para estudiar la proyectividad de su trama espacial. Aquí dejo unos sólidos para construir que ayudarán al curioso a entender el espacio que ocupamos y compararlo con el que vemos

Las imágenes I, II y III que siguen corresponden a los desarrollos de sólidos tetraédricos resultantes de cortar, por un plano próximo a un vértice, un ortoedro, un cubo y un paralelepípedo oblicuo. Los cuadriláteros dibujados en el vértice responden a la forma y proporción de los respectivos poliedros. Las líneas discontinuas son las intersecciones con planos que en el cubo son de simetría, pero no necesariamente en otros paralelepípedos.

IV y V: desarrollos del ortoedro y el paralelepípedo oblicuo, señalando en ambos el plano que los corta.

VI: lo mismo para el cubo, con la huella del plano de corte señalada sobre su desarrollo.

VII: el plano de corte y sus intersecciones con los planos de simetría que contienen a un vértice. La figura está pensada para plegarla por la mitad y poder observarla desde ambas caras.

VIII: este es el tetraedro que se puede acoplar sobre la figura anterior.

 
IX: a continuación, los puntos límite y horizontes que correponden a todos los ejes y planos del cubo.

X y XI son las dos partes en que el plano corta al cubo, para comprobar las coincidencias con ambas caras del plano de intersección.

XII y XIII: aquí se han añadido las huellas de los planos de simetría sobre la superficie del cubo.

 
XIV y XV: en estas dos figuras el cubo se divide por el punto de vista y uno de sus planos de simetría.

XVI: aquí quedarán a la vista todos los ejes y planos de simetría:

XVII: otra sección por el punto de vista.

XVIII: una parte del cubo en que se cortan todos los ejes y planos de simetría. ¿Veis en el corte la proyección plana de los elementos del infinito?

XIX: la otra parte del cubo seccionado, en que vemos la misma proyección de elementos límite desde el otro semiespacio.

 
Si construís las figuras y buscáis cómo se acoplan entre sí entenderéis de un vistazo lo que ocultan, con su prolijidad, la mayoría de las representaciones perspectivas, con sus construcciones casuísticas que ocultan la gran unidad de todo el mecanismo proyectivo.

Aún quedan una cuantas láminas. Espero que sean divertidas.

(sigue) 

Perspectiva unificada XII

Capítulo X

Modelos corpóreos
 

Aquí empezó la cosa...

...y aquí acaba. Salvo este capítulo extra, prometido, cuyas figuras pueden recortarse y componerse, modelos para ayudar a repasar los conceptos y las figuras del libro.

Para ello las páginas pueden imprimirse en tamaño A4.

Y pueden descargarse en este enlace.

El cubo, con sus tres direcciones ortogonales, con la apilabilidad infinita que las conserva y prolonga indefinidamente, es la base de la concepción cartesiana del espacio. 

Las direcciones que controla esa unidad cúbica no son únicamente esas tres ortogonales de sus aristas, sino que a ellas hay que añadir las de sus cuatro diagonales y las seis de las diagonales de sus caras. Eso nos da trece direcciones, que se proyectan al infinito en trece puntos impropios. Tal es la constelación que nos haría controlar desde el firmamento nuestro espacio, si pudiéramos materializarlos en otros tantos astros.

Y al igual que una fotografía del firmamento es su proyección plana desde un punto de vista, podremos proyectar esos trece astros sobre un plano desde un punto cualquiera y tendremos sobre él trece puntos límite para controlar el espacio.

Como esas direcciones están en el cubo en forma de sus ejes de simetría (los tres ejes cuaternarios paralelos a sus aristas, los cuatro ternarios que son sus diagonales y los seis binarios paralelos a las diagonales de sus caras), cualquier sección plana del cubo que corte a esos ejes materializará las proyecciones de los trece astros imaginarios que las gobiernan desde el infinito.

Cada sección del cubo, por lo tanto, nos proporciona un sistema de proyección central, un procedimiento para construir perspectivas, sea proyectando desde el mismo centro del poliedro, sea haciéndolo desde un vértice.

Aprenderemos entonces a cortar el cubo, pero señalando, a diferencia de la imagen que sigue, los ejes y planos de simetría que seccionamos.

Un espacio cartesiano es continuo, homogéneo e isótropo. Todos sus puntos y todas sus direcciones son equivalentes. Quiere esto decir que podemos trasladarnos de un lugar a otro y girarnos en cualquier dirección sin que cambien sus propiedades geométricas. Por eso se toma como unidad de medida. Por eso mismo elegimos, para realizar cualquier proyección, la figura del cubo, situando el punto de vista en uno de sus vértices y tomando las aristas que concurren en él como direcciones que permiten situar y proyectar los puntos principales del infinito, siendo las caras concurrentes las que proyectan los horizontes de ese espacio.

Para comenzar, no partiré del cubo, sino de un paralelepípedo cualquiera, en el que también hay aristas, diagonales de caras y diagonales interiores del propio sólido. El espacio regido será un espacio euclídeo.

Así que ese espacio euclídeo, continuo y homogéneo, pero no necesariamente isótropo viene dado por tres direcciones y tres escalas arbitrarias. El punto de vista en ese caso reflejará un espacio deformado cuya unidad es un paralelepípedo oblicuo. Construiremos una sección del mismo que corte tres aristas contiguas, cuidando de marcar las direcciones de las diagonales seccionadas:

También podemos considerar un espacio que mantenga la ortogonalidad en tres direcciones, con escalas sin embargo arbitrarias. Y también será un espacio euclídeo:

Por último, esta será la figura para proyectar un espacio cartesiano. Las tres aristas cortadas son ortogonales, y además nos aseguramos la misma escala de medida sobre ellas:

Para construir los sólidos que materializan las figuras anteriores las facilito como recortables. Empezamos por el paralelepípedo oblicuo:

Y a continuación, los otros dos sólidos:

De igual modo podemos construir los sólidos completos. Siguen los paralelepípedos oblicuo y recto que regulan los espacios euclídeos. En ambos se ha señalado la sección que corresponde al plano de proyección:

 
Por último, el cubo que mide el espacio cartesiano, Señalando también su sección por el plano del cuadro:

Este rectángulo, recortado, plegado sobre su paralela media y pegadas ambas caras, servirá para situar, como plano del cuadro, el tetraedro que forman el punto de vista, los planos que proyectan los horizontes y el propio cuadro:



Y este será el tetraedro que podemos hacer coincidir sobre él::

 
A otra escala, construiremos el plano del cuadro, pero ahora completado con todos los horizontes y los trece puntos límite:

  
Construiremos también las dos partes del cubo seccionado:

Este otro cubo cortado nos dejará ver todos los ejes y planos de simetría:

 
Construid también estas figuras para ver cómo los sólidos cortados nos proporcionan informaciones interesantes sobre las relaciones del espacio con sus proyecciones planas.

Más piezas para el puzzle:

Y otras más:

En este cubo cortado podemos apreciar muy bien los puntos de fuga que utilizamos en las proyecciones centrales:

Y aquí dejo la otra parte del cubo. Comprobad las coincidencias. Es el espacio proyectado en el espejo retrovisor. El semiespacio que no vemos hacia delante, como si un ojo pudiera ver hacia el cogote:

 
Aquí y así termina el libro. En la corta edición que hizo la universidad, y que al parecer se puede adquirir aún, lo acompañan además unas láminas que reproducen en cartulina de tamaño A4 las imágenes más ilustrativas: los recortables y las perspectivas en relieve. Me está apeteciendo ponerlas también a vuestra disposición, así que, tal vez, como una coda...

(continúa un poquito más)