Una música maravillosa

Tenía muchas ganas de asistir a este concierto de la Sociedad Filarmónica de Pontevedra pero sufrí una amarga decepción. Y no fue que me defraudara la calidad del intérprete.

Desde hace tiempo sufro una pérdida auditiva que me distorsiona la música sinfónica. En un concierto anterior se interpretó la quinta sinfonía por antonomasia, y pensé que siendo una pieza que sé de memoria podría seguiría sustituyendo mentalmente las notas no percibidas. ¡Pues de eso nada! Los fuertes piporrazos del acompañamiento me tapaban las notas de la melodía principal que no podían sustituir mis mudas notas mentales.

En este caso, al tratarse de un solo instrumento, pensé que no ocurriría esto. Error profundo. Fue mucho peor, porque no percibí una sola nota. Además de mi sordera (verdadera, no como la de Vicente Soto) tenía un catarrón de aquí te espero, así que pasé un rato de lo más aburrido. No salí de allí por no molestar.

Me consolé decidiendo escuchar el concierto en casa, a través de internet y con los auriculares adecuados. Y he aquí que ¡oh maravilla! buscando encontré un vídeo que me ha entusiasmado, porque recorre la partitura nota a nota y acorde tras acorde. Antes de oírlo entero he querido transmitir a mis amigos la buena noticia del contenido hallado.

Como demuestra el cine, arte total, la imagen y el sonido se complementan. Leer la partitura y oír la melodía al mismo tiempo es algo a incorporar en la didáctica musical.

Entre las siete "artes liberales" (que los antiguos ponían por encima de las despreciadas "artes manuales", impropias de las clases ociosas), el Quadrivium (numerus, tonus, angulus, astra) complementaba al Trivium (tropus, lingua, ratio). Con buen criterio reunieron la música y la astronomía con las matemáticas.

Matemática, imagen y sonido relaciona Douglas R. Hofstadter en su libro Gödel, Escher, Bach: Un Eterno y Grácil Bucle. El músico elegido no podía ser otro.

Johann Sebastian Bach tocando el órgano, c.1881

El programa detallaba las muy estructuradas Variaciones Goldberg que no pude oír en el concierto y que ahora me dispongo a disfrutar:

Del intérprete Diego Ares son estos útiles comentarios, también incluidos en el programa de mano:

«Estas variaciones están maravillosamente organizadas: partimos de un Aria de 32 compases a la que siguen 30 variaciones que nos devuelven al Aria inicial. En total tenemos 32 piezas, tantas como compases tenía el Aria. Pero este es solo el comienzo para descubrir que nos encontramos ante todo un cosmos: las 30 variaciones se pueden dividir en dos grupos de quince (comenzando la segunda parte con una Obertura a la francesa); y en 10 grupos de 3 (terminando cada uno de ellos con un canon, a excepción del último grupo). La voz canónica entra siempre en el intervalo que corresponde al lugar que el cánon ocupa: al unísono en el primer canon, a la segunda en el segundo, a la tercera en el tercero, etc... Pero este sistema rompe en el ultimo momento: allí donde deberíamos encontrar un canon a la décima (décimo grupo de tres variaciones) nos encontramos con un Quodlibet (antigua forma musical en la que distintas melodías populares se entrelazan contrapuntísticamente) ¿Por qué abandona Bach la estructura que el mismo se impuso?

Que Bach otorgase a un Quodlibet el lugar de honor que estaba reservado al esperado canon debe hacernos reflexionar. ¿qué significado tenía para Bach este Quodlibet? Cuando Forkel escribe sobre Bach y su familia nos cuenta como esta se divertía improvisando Quodlibets durante sus reuniones. Si para Bach este Quodlibet evocase a su familia y los momento felices vividos con ella, no cabe duda de que este ciclo cobraría un significado transcendental. ¿Serán pues estas variaciones la representación de un viaje con retorno en el que al final nos reciben nuestros seres queridos y no un canon a la décima?

Sea como sea, esta obra no dejará de hacernos soñar. de admirarnos con su manantial inagotable de originalidad, y de consolar nuestras angustias, como las del conde aquel, que, durante las interminables noches, repetía a su clavicembalista: "toca, querido Goldberg, alguna de mis variaciones".»

La vertiginosa caída hacia lo infinito

Es una obviedad que todo conjunto se contiene a sí mismo, dado que todos sus elementos están contenidos en él. Decir esto no es sino afirmar la identidad de todo ente consigo mismo. Así lo dijo Gabriel Celaya: "como mágica evidencia, lo real se nos convierte en lo idéntico a sí mismo".

Más difícil resulta pretender que alguno de sus componentes pueda contener al conjunto en su totalidad. Yo, ser pensante, puedo pensar que estoy pensando. De inmediato se me hace evidente que pienso que pienso que pienso... ¿Hacia dónde me lleva este camino sin fin?

¿Puede un sistema comprenderse a sí mismo? Si esta pregunta se refiere a la mente humana, entonces nos encontramos ante una cuestión clave del pensamiento científico. Y de la filosofía. Y del arte.

Investigar este misterio es una aventura que recorre la matemática, la física, la biología, la psicología y muy especialmente, el lenguaje. Las definiciones que nos da un diccionario no dejan de dar vueltas sobre sí mismas. Por eso es imposible aprender una lengua utilizando solo su propio diccionario.

Todo lenguaje, todo sistema formal, todo programa de ordenador, todo proceso de pensamiento, llegan, tarde o temprano, a la situación límite de la autorreferencia: de querer expresarse sobre sí mismo. Surge entonces la emoción del infinito, como dos espejos enfrentados y obligados a reflejarse mutua e indefinidamente.

Gödel, Escher, Bach: un eterno y grácil bucle, libro de Douglas R. Hofstadter, es una buena puerta de entrada a esta ardua cuestión. Sorprendentes paralelismos ocultos entre los grabados de Escher y la música de Bach nos remiten a las paradojas clásicas de los antiguos griegos y a un teorema de la lógica matemática moderna que ha estremecido el pensamiento del siglo XX: el de Kurt Gödel. Podéis encontrar el libro aquí.

El artista holandés exploró este tema en sus escaleras o saltos de agua sin fin, o en aquel grabado en que entramos en un museo y descubrimos el propio museo en uno de los cuadros, para volver a entrar en él en una regresión infinita.

En la Ofrenda musical que dedicara a Federico II, el inmenso compositor alemán dejó algunos cánones dignos de explorar, junto a la enigmática inscripción Quaerendo invenietis ("buscando encontraréis"):

Uno de estos cánones, Canon in augmentationem (la duración de las notas aumenta progresivamente), está indicado Notulis crescentibus crescat Fortuna Regis (que la fortuna del rey aumente de la misma forma en la que lo hacen estas notas), mientras que en el canon denominado Canon per Tonos Bach va modulando a partir de la tonalidad de do menor para terminar de forma imperceptible en la tonalidad más alta de re menor y enlazando con el comienzo. De esta forma, el intérprete puede empezar de nuevo y, a medida que la tonalidad va ascendiendo, puede llegar de nuevo a la tonalidad de do menor, cerrando el círculo de modulaciones una octava más arriba. La indicación en este canon es Ascendenteque Modulationis ascendat Gloria Regis ("que la gloria del rey aumente como asciende esta modulación").

La regresión infinita ha encontrado su expresión más precisa en los conjuntos denominados fractales. La búsqueda iniciada por Gaston Julià alcanzó su mayoría de edad cuando Benoit Mandelbrot utilizó medios informáticos para su más perfecta representación.

A partir de cualquier punto del fractal podemos penetrar una y otra vez en la estructura completa del conjunto, en sucesivas ampliaciones sin fin. La naturaleza nos presenta un asombroso ejemplo en la compleja estructura del brécol romanesco.

El hermoso conjunto de Mandelbrot es una estructura plana. ¿Qué tal si le añadimos una tercera dimensión? Esto es lo que podemos ver en esta vertiginosa caída hacia el infinito (o hacia el infinitésimo) En este vídeo que me envía mi querida e infatigablemente curiosa hermana Marilina.

Sumergíos en el largo misterio: merece la pena. Para nada necesitamos psicodélicos paraísos artificiales. Sentiréis el vértigo de lo indescriptible en esa imposible y eterna autorreferencia.

¿Podemos divertirnos con los números?

Tomad lápiz y papel y acompañadme activamente en el curioso recorrido que vamos a hacer por los números naturales. Una lectura pasiva puede aburriros, pero no será tediosa si vais haciendo lo que vais leyendo, y comprobándolo con otros números a vuestro gusto.

El cero y el uno son la base de todos los demás. La suma y el producto parten de ellos.

Porque sumando unos podemos alcanzar cualquier número (escalando de uno en uno, con mucha paciencia). Y sumando ceros a cada uno de ellos no escalamos nada.

Y multiplicar por cero anula cualquier número, porque lo sumamos cero veces, mientras multiplicar por uno lo deja como estaba, porque lo consideramos una sola vez.

La primera clasificación que haremos es la de pares e impares. Para ello necesitamos el número dos. Cualquier número, sumado dos veces (duplicado, multiplicado por dos), es par. Los pares obtenidos pueden de nuevo multiplicarse por dos múltiples veces, obteniendo números pares que son múltiplos de dos múltiples veces, valga la redundancia.

Pero si en lugar de cualquier número empezamos por hacer esto con el mismo dos, los sucesivos duplicados que obtenemos pueden dividirse por la mitad una y otra vez, hasta que ya no podemos hacerlo más, porque llegamos al uno: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024... Cada uno de ellos es múltiplo de todos los anteriores. Estos números son las potencias de dos. Voy a llamarlos "superpares". Dividiéndolos sucesivamente por dos llegamos al uno.

Pero otros números pares tienen otros divisores además de algunos de los anteriores (18/3=6, 18/9=2, 18/2=9), y al partirlos sucesivamente por la mitad llegamos a un punto en que no podemos obtener más mitades enteras. Si puedo dividirlos en dos una vez los llamaré (perdonad la licencia) "monopares" (14/2=7), y si puedo hacerlo varias veces sucesivas, "multipares" (28/2=14, 14/2=7)

La suma de números pares, o de un número par de impares, es un número par (2+2+8=12, 3+5+2+6=16). Una suma en que haya un número impar de impares es un número impar (3+5+2+7=17).

Un producto sin números pares es impar (3x5=15), pero basta que uno de los factores sea par para que el producto también lo sea (3x2x7=42).

La segunda clasificación que haremos es en primos y compuestos. Son primos los que solo admiten dos divisores, que son él mismo y el uno (7/7=1, 7/1=7). Esto significa que solo los podemos repartir en unidades, evidentemente todas iguales, o no repartirlos y quedarnos con el todo entero.

Los números que tienen más de dos divisores pueden repartirse de diferentes formas en agrupaciones iguales (30/2=15, 30/3=10, 30/5=6, 30/6=5). Son números compuestos.

Empecemos para abrir boca con los números 0, 1, 2 y 3. El cero es par, porque es múltiplo de dos (0x2=0). En cambio no es primo, porque tiene infinitos divisores (0/23=0). El uno, paradójicamente, es el primero de los naturales y el primer impar, pero no es primo porque solo tiene un divisor, que es él mismo (1/1=1). El dos es el único que es a la vez par y primo (2/2=1, 2/1=2). El tres, por último, es impar y primo, y a partir de él se alternan por igual pares e impares, y de modo desigual compuestos y primos. Los primos van escaseando al avanzar, pero sin que ninguno termine la serie infinita.

En efecto (teorema e Euclides): si hacemos una criba de Eratóstenes para obtener una lista exhaustiva de números primos con cualquier número de elementos, los ordenamos luego de menor a mayor y los multiplicamos todos, basta con sumarle 1 al producto para que el resultado no sea divisible por ninguno de ellos. La conclusión es que el número así obtenido, o es primo, o tiene algún divisor primo que no estaba en la lista, y que por consiguiente es mayor que todos los considerados. Luego por larga que fuera la lista siempre hay primos mayores.

*****

Viene a cuento esta introducción clasificatoria a los números naturales, aquellos que nos sirven para contar u ordenar, porque, sean primos o compuestos, impares o pares (y dentro de ellos "monopares", "multipares" o "superpares"), todos, absolutamente todos ellos pueden someterse a cierto conjunto ordenado y finito de operaciones que nos lleva de uno a otro y termina cuando llegamos al número uno.

Se trata del algoritmo 3n+1, y consiste en lo siguiente:

• Tómese un número cualquiera.
• Si es par, divídase por dos.
• Si es impar, multiplíquese por tres y súmesele uno.

De este modo, podemos prescindir inmediatamente de los pares, porque rápidamente la aplicación del algoritmo nos lleva a un impar, sea en un solo paso ("monopares") en varios ("multipares") o directamente a la unidad ("superpares").

Llegados a un impar, o partiendo de él, al multiplicarlo por tres, que es también impar, el resultado es impar, y al sumarle uno tenemos de nuevo un par, iniciando una cadena descendente más o menos corta hasta otro impar, y así sucesivamente.

De este modo tenemos una operación ascendente que triplica el número, y otra descendente, que puede constar de uno o más pasos y lo reduce a la mitad, o con suerte, a la cuarta, la octava parte...

Parece razonable pensar que, aunque multiplicar por tres es más potente que dividir por dos, la operación ascendente, que siempre es de un paso, no podrá vencer a la descendente, que puede constar de varios.

Es algoritmo porque es finito, aunque nadie haya podido demostrarlo hasta hoy. Por eso es aún una conjetura y no un teorema.

Necesariamente, damos por cumplido el algoritmo cuando llegamos al uno. Veamos:

1, 1x3+1=4, 4/2=2, 2/2=1

Ya no podemos sino repetir eternamente la operación, sin salir del bucle sin fin. Damos así por concluido el cálculo.

Pero surge la pregunta que aún no tiene respuesta en forma de demostración irrefutable: en este proceso, ¿podríamos llegar a un número, distinto de uno, por el que ya hubiéramos pasado antes? En tal caso tendríamos un bucle eterno diferente del anterior, porque una y otra vez volveríamos a este numero, sin descender jamás.

Aunque se han probado todos los números hasta decenas de dígitos, aún no se ha encontrado un contraejemplo que nos lleve a otro bucle como el del número uno.

Saltando de rama en rama, de número en número, vamos rellenando su lista infinita, sin volver nunca al mismo punto hasta llegar al brevísimo bucle que finaliza la búsqueda. Podéis probar con cualquier número. No os asustéis, porque con la calculadora del ordenador se llega en un número no muy grande de pasos. Pondré un par de ejemplos cortos, para no aburrir. Partiendo del 11:

11, 3x11+1=34, 34/2=17, 17x3+1=52, 52/2=26, 26/2=13, 13x3+1=40, 40/2=20, 20/2=10, 10/2=5, 5x3+1=16, 16/2=8, 8/2=4, 4/2=2, 2/2=1

Sucesivamente: 

11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1

Partiendo del 682:

682, 341, 1024, 512, 256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1

En ambos casos la sucesión termina en una serie de "superpares", más o menos larga. Y en los dos asciende hasta un valor máximo (en negrita renegrida) que no se vuelve a alcanzar. A veces ese número cumbre es el inicial

9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1

La aparición terminal de estos superpares, que son potencias de dos, lleva naturalmente a relacionar esto con el sistema de numeración binario.

Los sistemas de numeración que utilizamos disponen de una serie de cifras significativas, y un importantísimo cero. El conjunto de las primeras y el "inoperante" cero es la base del sistema, que en nuestro caso es diez.

Consideremos un número cualquiera, para entender mejor los sistemas modernos de numeración, en los que la posición del dígito en el número determina su valor. Y ahí es donde el cero cobra toda su importancia:

1302 = 1x10x10x10 + 3x10x10 + 0x10 + 2x1 = 1000 + 300 + 0 + 2

El valor de un dígito se multiplica por diez con cada desplazamiento a la izquierda en el número. Nada cambia en la estructura de este modo de numerar si la base es cualquier otro número. Así, con base cinco, usaríamos las cifras 0, 1, 2, 3, 4, y la serie de los números naturales comenzaría así:

1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14, 20, 21, 22, 23...

Contad y veréis que este "23" sería nuestro trece.

Ahora, cada desplazamiento a la izquierda multiplica por cinco su valor, que aumenta según las potencias de cinco.

¿Cuál será el valor, en nuestro sistema decimal, del número 1302, si nos dicen que estamos en un sistema de base cinco?

1302 = 1x5x5x5 + 3x5x5 + 0x5 + 2x1 = 1x125 + 3x25 + 0x5 + 2x1 = 125+75+0+2 = 202

Cuando la base es un número muy bajo, el número expresado también lo es; cuando la base aumenta, el valor del número lo hace también, y mucho.

¿Qué ocurre si la base es dos? Solo disponemos de dos dígitos, 0 y 1. Cada paso a la izquierda multiplica por dos el valor del dígito. La sucesión numérica queda así:

1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101...

Este 1101, traducido al sistema decimal, valdría:

1101 = 1x2x2x2 + 1x2x2 + 0x2 + 1x1 = 1x8 + 1x4 + 0x2 + 1x1 = 8+4+0+1 = 13

¿Podemos hacer fácilmente el paso inverso, del sistema decimal al binario? Desde luego que sí. Basta considerar que la sucesión de superpares decimales 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024... o, lo que es lo mismo, 1, 1x2, 1x2x2, 1x2x2x2, etc... es una serie de potencias de dos, y en el sistema binario se representaría así: 1, 10, 100, 1000...

Cualquier número decimal, como el ya utilizado 1302, puede descomponerse en una suma de potencias de dos, restándole sucesivamente la última de la serie que es menor que él:

1302 = 1024+ 278 = 1024+256+22 = 1024+256+16+6 = 1024+256+16+4+2

Que en binario sería: 10'000'000'000 + 100'000'000 + 10'000 + 100 + 10 = 10'100'010'110 (los he separado de tres en tres para no volverme contando más loco de lo que estoy, y por la misma razón he subrayado los unos para que veáis cómo se corresponden con las potencias de dos expresadas más arriba en el sistema decimal).

Comprobad que aquí todos los pares terminan en cero, y los impares en uno.

Como veis, este sistema es inmanejable, salvo para una máquina. En computación, la dicotomía binaria nos lleva al concepto de bit, la mínima unidad de información, que puede tomar únicamente los valores cero y uno. Más manejable para la mente humana resulta el byte, unidad de información compuesta por un conjunto ordenado de 8 bits. Sucesivamente se han ido ampliando en las computadoras los procesadores a sistemas de 16, 32, 64 bits...

Siempre están presentes los superpares, las potencias de dos. ¡A este paso, con tanto "pogreso", no sé a donde vamos a ir a parar!

*****

Dos cosas hemos aprendido en este recorrido. Por una parte, que los números son en sí mismos independientes de cómo los representemos. Por otra, que a pesar de ello necesitamos un sistema para manejarlos, y corremos el riesgo de confundir el número con su representación.

¿Existen entonces los números con independencia del sistema? ¿Qué tipo de existencia es la del número trece, o la del 30227?

Existen en la medida de que podemos establecer conjuntos de elementos, de unidades, y compararlos. Podemos emparejar 13 garbanzos, o 30227, con otros tantos gamberros, o catedrales (si es que hay tantas). Y con cualquiera de esos conjuntos podemos, o no, agruparlos en subconjuntos iguales, de la misma manera en todos ellos. Los conjuntos de numeral primo pueden ordenarse únicamente en una fila o columna. Los de numeral compuesto admiten otras ordenaciones rectangulares. Podéis verlo en las sucesivas formas históricas de ordenar las estrellas cambiantes en la bandera de las trece barras.

La tentación surge cuando vemos que los diferentes sistemas de numeración sugieren en sí mismos estructuras que se dan en unos y no en otros. El sistema decimal es muy manejable (de "mano"): dos manos con cinco dedos cada una, dos subconjuntos iguales de cinco elementos (emparejables por lo tanto, aunque sea para rezar).

Un sistema de base siete lo empleamos rudimentariamente para los días de la semana. El sexagesimal para dividir las horas en minutos y estos en segundos, aunque no vamos más allá, porque para las horas empleamos bases doce o veinticuatro. Y hemos visto la utilidad computacional de los sistemas binario, octal o hexadecimal.

La utilidad de un sistema de numeración viene dada por el número de divisores de la base del sistema, y también por la cantidad de símbolos necesarios para representar un número. El sexagesimal de los babilonios precisaría de 60 símbolos numéricos, aunque tiene la ventaja de sus muchos divisores: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. El vigesimal se ha usado en Mesoamérica, y ha dejado huella en la lengua francesa. Supongo que era cómodo contar con los dedos de manos y pies si se andaba descalzo.

(Recuerdo un momento, allá por el sesenta y ocho, cuando los estudiantes decidimos "independizarnos" del sistema educativo y elaborar nuestros propios apuntes. Leído y carcajeado en uno de los borradores que hicimos: "el sistema vigesimal se basa en los veinte dedos de la mano, y tuvo adeptos entre los mayas y en Francia...").

El decimal no está mal, con sus cuatro divisores, 1, 2, 5, 10. Alguien había propuesto el doce como "nuestro 10 futuro", por sus divisores 1, 2, 3, 4, 6, 12. Más arriba de estos, a nadie se le ocurriría un sistema basado en un número primo elevado, como el 17. O el 1009, mal que nos evoque una rica cerveza...

*****

Para terminar, una consideración filosófica sobre el modo de existencia de los entes conceptuales abstractos, como los números. Existen incrustados en objetos reales, pero también en todas las conceptualizaciones que podamos inventar. Solo un materialista vulgar puede negarles la existencia.

Las operaciones básicas de contar y ordenar son aplicables a objetos, a sistemas, procesos, reales o imaginarios, al tiempo y al espacio. A partir de ellas, las sucesivas ampliaciones del concepto de número que han permitido desarrollar el inabarcable mundo de las matemáticas no serían posibles sin estos sistemas posicionales de numeración.

Y una reflexión pedagógica: algo tan tedioso como aprender en temprana edad la tabla de multiplicar es inevitable. Es preciso manejar el lenguaje antes de reflexionar sobre él. Las lenguas naturales se asimilan tempranamente, mucho antes de reflexionar sobre su estructura. En cambio los rudimentos del lenguaje matemático no se adquieren así, y deben ser mecanizados antes de su comprensión racional.

La diferencia está en que la evolución nos ha llevado al aprendizaje precoz de las lenguas, pero no a un equivalente en los ámbitos científicos.

Habrá que tener en cuenta las etapas del desarrollo cognitivo estudiadas por Jean Piaget para encontrar el momento idóneo en que el niño debe pasar de ese aprendizaje mecánico a otro analítico. Los libros de matemáticas de Rey Pastor y Puig Adam para el bachillerato que yo estudié comenzaban ya, para niños de diez u once años, a explicar números y operaciones de modo muy racional.

Análisis y juegos como los que acabo de exponer solo serán comprendidos íntegramente practicándolos. Asi que lo dicho al principio: lápiz y papel (¡y calculadora!).

La distribución del voto, la de la riqueza y su modulación política

Desde otra entrada de este blog, sobre voto y conciencia de clase, traigo aquí esta gráfica. Muestra la relación, en las pasadas elecciones, entre nivel de renta o de riqueza e intención de voto. Junto a tendencias generales en los extremos de la pobreza y la riqueza aparecen influencias que alteran lo que se esperaría en principio, debidas seguramente a las diferencias de nivel de conocimientos que se asocian a la prosperidad, como la que hace que el voto de Sumar aumente hasta alcanzar un máximo entre la clase media más acomodada.

El eje de ordenadas muestra el porcentaje de voto mientras el de abscisas ordena a la población según su creciente nivel económico. Nada dice sin embargo sobre cuál es ese nivel para cada percentil de esa población. Para eso se necesita otro diagrama, en el que se considere la riqueza que va acumulando a cada paso la población así ordenada. Esa es la Curva de Lorenz que analizo a continuación.

Esta gráfica refleja los ingresos que va acumulando la población contabilizada, al avanzar un recuento que empieza por los más pobres, hasta que al final la población total recibe la totalidad de los ingresos:

En una sociedad hipotética con una absoluta igualdad económica, toda la población ingresaría lo mismo. No tendría sentido ni sería posible ordenarla con el criterio establecido. A lo largo de todo de recuento la riqueza creada sería proporcional a la población recontada. La línea azul refleja esta utópica situación.

Pero en las sociedades realmente existentes, al empezar por los más pobres, la curva se descuelga, en diferente medida según el grado de desigualdad. Al avanzar el recuento aumenta el descuelgue, hasta llegar a un punto en que empezamos a incluir a gente más próspera, y al totalizar la población totalizamos también su enriquecimiento.

Frente a la total igualdad de esta línea azul tendríamos la total desigualdad en que un único individuo lo acumularía todo y nadie más obtendría nada. Es la otra línea azul del diagrama siguiente:

Todas las sociedades reales presentan gráficas contenidas en la superficie que encierran las dos situaciones extremas. Consideremos la superficie A comprendida entre la línea de igualdad absoluta y la situación estudiada. Si tomamos como unidad el área del triángulo comprendido entre las líneas extremas, el área de A será el coeficiente de Gini.

El valor cero corresponde a la igualdad absoluta y el uno a la extrema desigualdad. El coeficiente toma siempre valores intermedios, tanto más bajos cuanto más igualitaria es la sociedad.

Pondré otros ejemplos tan irreales como los casos extremos pero ilustrativos de los valores que puede alcanzar el coeficiente en situaciones reales. Sea una sociedad compuesta por esclavos sin riqueza alguna, una clase libre totalmente igualitaria y un monarca absoluto que reserva para sí mismo gran parte de la riqueza.

Si la mitad de la población es esclava y el rey se queda con la mitad del producto total, la situación será ésta, y el coeficiente de Gini alcanzará un valor de 0,75:

Si los esclavos fueran un tercio y el rey se quedase un tercio de la riqueza, el coeficiente sería 0,555...:

A una cuarta parte de esclavos y un rey que se conformase con la cuarta parte le correspondería el índice 0,4375:

Y si el soberano se reserva un quinto y los libres e iguales son el 80%, el índice bajará a 0,36:

(Los ejemplos han sido elegidos por su facilidad de cálculo. Los indices obtenidos corresponden a las fracciones 3/4, 5/9, 7/16, 9/25. Curiosamente el criterio nos ha conducido a la serie de cocientes entre los primeros impares y los primeros cuadrados. Interesante propiedad geométrico-aritmética: cada cuadrado puede obtenerse sumando al anterior el correspondiente número impar, formando una progresión aritmética de segundo orden. Pero dejemos eso y pasemos a lo que ha motivado este análisis, que es el problema de la desigualdad). 

Está claro que ninguna de estas situaciones es real: la desigualdad se da también, como mínimo, en los hombres libres. 

Aunque siempre puede haber un solo individuo que se reserve una parte considerable e indigentes absolutos, en la práctica totalidad del diagrama tendremos curvas parecidas a estas, tomadas de un estudio de la Universidad de Granada sobre las Curvas de Lorenz:

Solamente las primeras podrían corresponder a situaciones reales estables. Por encima del índice 0,4 las sociedades se vuelven cada vez más inestables. La siempre presente lucha de clases altera continuamente la situación, y nunca veremos dos diagramas absolutamente iguales.

En la página 107 del libro de Andreu Escrivà Contra la sostenibilidad hay algunos datos interesantes sobre estos cambios:

El Reino Unido había sufrido un incremento rampante de la desigualdad tras los sucesivos gobiernos de Margaret Thatcher (pasaron de un coeficiente de 0,25 a 0,345 de 1979 a 1990), y fue incapaz de redistribuir el incremento de su PIB de 1990 a 2020 para revertir los efectos de la desigualdad: el coeficiente apenas se movió hasta el 0,344. En Estados Unidos, que también vio escalar la desigualdad durante los años ochenta y los mandatos de Ronald Reagan, el coeficiente pasó de 0,382 a 0,415. Pese a que las políticas aplicadas consiguieron disminuir las emisiones –aunque no lo suficiente– y generar riqueza, se han demostrado incapaces de redistribuirla, y por tanto la aspiración a la sostenibilidad queda más que comprometida.

Volviendo al principio, no existe una relación automática entre la distribución del voto y la de la riqueza. De igual modo que la lucha de clases es compleja, también es manipulable, y quienes tienen poder, que son precisamente los que tienen riqueza, tienen medios a su alcance para que un panorama de por sí distorsionado lo sea todavía más.

¡Pero por favor, que esto no suene a fatalismo!

El lenguaje unívoco

Los lenguajes naturales se componen de símbolos verbales, palabras, a los que se atribuyen significados, conceptos, que al ser compartidos por un grupo humano permiten la comunicación, limitada siempre a quienes los conocen y reconocen, aunque como observa el autor de este artículo solo individuos idénticos podrían interpretarlos de forma idéntica. Por eso mismo el lenguaje sirve también para discutir.

Algunos de esos símbolos tienen una única interpretación posible, como las conjunciones, que poseen un carácter altamente instrumental, pero la mayoría de las palabras tienen distintas acepciones, algunas de las cuales intenta deslindar el diccionario, con éxito dudoso. Suelen estar ligadas por variaciones basadas en analogías, como explica el interesante libro La analogía, que la considera "motor del pensamiento". De este modo las palabras se enredan en una serie de campos semánticos alrededor de un núcleo original, y estos campos no solo tienen extensiones variables para cada hablante o grupo sino que son diferentes, y a veces muy diferentes, para cada lengua. Dificultad que sufre continuamente el traductor, siempre acosado por la expresión traduttore traditore.

Frente a estos lenguajes naturales, el lenguaje matemático se basa en la univocidad. Su grado de abstracción soslaya las connotaciones personales, que dejan de ser relevantes. Aunque algunas de sus palabras pueden referirse a entidades diferentes (y así ocurre en el álgebra y la geometría), sus oraciones (ecuaciones) tienen un rigor que las libra de ser diversamente interpretadas, así que sus resultados son incuestionables, sin que puedan interpretarse de modos divergentes. "Con las matemáticas disponemos de un lenguaje exento de ambigüedades e interpretaciones subjetivas".

Después de Galileo la unificación de significados se fue extendiendo al discurso científico por cuanto sus enunciados se formulan matemáticamente. La Física es ciencia en la medida en que es cuantitativa, es decir, matemática.

Pero para esto es importante que los conceptos básicos sean interiorizados. Que el estudiante los haga suyos. Sin este paso el resto se convierte en jerga incomprensible. El sistema de numeración, las operaciones básicas y las ideas elementales de la Geometría deben ser explicadas con sumo detalle y en profundidad. "Pretender que los niños y niñas de primaria los entiendan tras unas cuantas lecciones apresuradas es un disparate (amén de una forma de maltrato infantil), y explica los preocupantes niveles de fracaso escolar en matemáticas, así como el generalizado anaritmetismo de la población, incluido el de muchas personas supuestamente cultas."

Algunas de las nociones más básicas, como los números naturales y su extensión progresiva a los enteros, racionales, reales, complejos... podrían entenderse mejor como un relato histórico, intrigante, que haga ver cómo cada ampliación conceptual ha ido superando problemas concretos. Otro tanto ocurre con algo tan básico como el par dialéctico cero-uno: el "ser" y la "nada", el vacío y el lleno, la luz y la sombra, cada uno de los cuales solo se comprende inseparablemente de su opuesto. El lenguaje matemático como despliegue del filosófico. Claro que hay un largo camino hasta llegar a los números transfinitos, pero nadie está obligado a recorrer todo el Camino de Santiago.

Lo mismo puede decirse de la Geometría. Punto, línea, superficie, cuerpo, espacio, dimensión... se entienden mejor (y pueden llegar a ser fascinantes) si se parte de la mirada ingenua del verdadero filósofo.

Para aprender hemos de convertirnos primero en niños curiosos.

El lenguaje unívoco

Carlo Frabetti

DP.

 

Il libro della natura è scritto nella lingua della matematica.
(Il Saggiatore, Galileo Galilei)

La pesadilla de Aristóteles

En cierta ocasión, le preguntaron a Aristóteles: «Si pudieras pedir un deseo en beneficio de la humanidad, ¿qué don les rogarías a los dioses que nos concedieran?», y el Estagirita contestó que les pediría que unificaran el significado de las palabras de forma que todos las entendiéramos exactamente de la misma manera. Y se podría decir que los dioses complacieron parcialmente a Aristóteles, pues con las matemáticas disponemos de un lenguaje exento de ambigüedades e interpretaciones subjetivas. Y esta precisión, esta unificación de significados, se ha ido haciendo cada vez más extensiva —sobre todo a partir de Galileo— al discurso científico en general, en la medida en que sus enunciados se formulan matemáticamente («La ciencia es física o colección de sellos», decía Rutherford, y la física, a su vez, es ciencia en la medida en que es cuantitativa, es decir, matemática). (1)

Pero Aristóteles se refería al lenguaje natural, pues soñaba con eliminar los continuos malentendidos a los que su uso da lugar, la paradójica incomunicación verbal (precariamente suplida por la comunicación no verbal) que condena a los seres humanos a una juanramoniana «soledad sonora».

Por suerte, los dioses no satisficieron plenamente la petición del filósofo y solo nos concedieron un lenguaje unívoco de uso restringido. Porque para que dos hablantes se entendieran a la perfección, es decir, para que comprendieran todas las palabras —con todos sus matices y connotaciones— de idéntica manera, tendrían que ser prácticamente la misma persona. En el plano denotativo del lenguaje podemos lograr niveles de acuerdo relativamente satisfactorios; de lo contrario, hablar no serviría de nada y las sociedades humanas no existirían como tales. Pero el plano connotativo es, en gran medida, un universo personal e intransferible (o de muy difícil transferencia: por eso existe la literatura y, muy especialmente, la poesía). Eso nos causa numerosos problemas, así como una irreductible sensación de alteridad (que Kafka expresó magistralmente: «A mí me conozco, en los demás creo; esta contradicción me separa de todo»). Puede que sea muy alto, pero ese es el precio de la individualidad.

El pensamiento es fundamentalmente (aunque no exclusivamente) lingüístico. Somos lenguaje, incluso cuando callamos. Continuamente nos recorre un río de palabras, y somos los ecos innumerables que esas palabras multiplican en el irrepetible laberinto de nuestra mente. Por eso el sueño de Aristóteles, como tantos otros sueños filantrópicos, se resuelve en pesadilla: si todas las palabras significaran exactamente lo mismo para todas las personas, solo habría un individuo repetido millones de veces, y entonces sí que su soledad, atrapada en un laberinto de espejos, sería abismal y vertiginosa.

J + T = L

El lenguaje matemático, desde el momento en el que es utilizado por seres humanos (no así cuando lo usan las máquinas, al menos por ahora), también posee un plano connotativo; pero, al contrario de lo que ocurre con el lenguaje natural, cuando hablamos de matemáticas —en matemáticas, mejor dicho—, las connotaciones personales no son relevantes: lo que a mí pueda sugerirme la igualdad pitagórica a² = b² + c² no afecta en absoluto a los cálculos que pueda llevar a cabo a partir de ella ni a la posibilidad de comunicar con exactitud a otras personas esos resultados: como deseaba Aristóteles, el teorema de Pitágoras significa exactamente lo mismo para todo el mundo, con independencia de las emociones o evocaciones que suscite en cada cual.

Pero ¿en qué sentido y en qué medida cabe hablar de un lenguaje matemático propiamente dicho? ¿No es una mera jerga especializada, como la de los médicos o los abogados? Al decir que dos más dos son cuatro, no me aparto ni un ápice del lenguaje natural, y al escribirlo en la forma 2 + 2 = 4, aparentemente tampoco, pues me limito a utilizar un peculiar tipo de taquigrafía. Pero ese «peculiar tipo de taquigrafía» hace posible un desarrollo —una sintaxis y una semántica— que va más allá de las palabras y su gramática, las hace innecesarias. Al resolver un sistema de ecuaciones, no repito, ni siquiera mentalmente, las frases que describen las operaciones: las efectúo sin más. Se ha producido un salto cualitativo, una conversión de la cantidad —o la densidad— en calidad. Los símbolos matemáticos, aunque algunos empezaron siendo meras abreviaturas, son entidades significativas de un nuevo tipo. O de varios:

En primer lugar, están aquellas letras de los alfabetos latino y griego que en el marco de las matemáticas adquieren un nuevo y preciso significado: x, y, z como incógnitas o variables; e como número de Euler (2,71828…); i como unidad imaginaria (√−1); π como razón entre la circunferencia y su diámetro (3,14159…); Σ como sumatorio…

Además de letras, la jerga matemática toma del lenguaje natural algunos signos de puntuación y les confiere un significado específico, como hace con el punto, la coma, los paréntesis y corchetes, las barras, las comillas, el signo de exclamación…

Y también, como no podría ser de otra manera, hay signos creados específicamente para designar conceptos matemáticos: los diez dígitos; el 8 tumbado que representa el infinito; los signos de sumar, restar, multiplicar, dividir, raíz cuadrada…

J + T = L: una jerga depurada y una taquigrafía extrema se funden en el lenguaje unívoco que Aristóteles les pidiera a los dioses.

El cero

Hablando de los diez dígitos, conviene prestarle especial atención al cero en relación con la construcción del lenguaje matemático, pues constituye una pieza clave —y sorprendentemente tardía— de su gramática.

Cuesta creer que los antiguos griegos, que elaboraron una geometría casi perfecta (es, básicamente, la que aún se sigue estudiando, siendo los Elementos, de Euclides, el libro más leído de la historia) y que, con Arquímedes, se anticiparon en dos mil años al cálculo infinitesimal, no conocieran el cero y, por tanto, no dispusieran de un eficaz sistema de numeración. El cero no empezó a utilizarse regularmente de forma operativa —no se convirtió en un dígito más— hasta el siglo V o VI en la India, desde donde pasó a Europa traído por los árabes junto con los otros nueve (por eso los llamamos números arábigos), y hasta el siglo XIII no se difundió por Europa el sistema posicional decimal, en buena medida gracias al Liber abaci, de Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci.

Convertir la nada —o la ausencia— en un dígito más, en igualdad de condiciones (o casi) con los otros nueve, fue una de las grandes hazañas intelectuales de la humanidad, una auténtica acrobacia de la capacidad de abstracción que completó y consolidó definitivamente el lenguaje de la matemática.

Las ecuaciones

Y si la matemática es un lenguaje, las ecuaciones son sus oraciones. Una ecuación es, como su nombre indica, una igualdad que permite comparar cantidades conocidas y desconocidas e integrarlas en un desarrollo complejo y sólidamente articulado: un sistema de ecuaciones, el discurso matemático por excelencia. Por eso algunos pensamos que la enseñanza de las matemáticas básicas debería limitarse al sistema de numeración, las cuatro operaciones y las ecuaciones de primer grado, junto con unas nociones elementales de geometría. Pero todo ello explicado con sumo detalle y en profundidad. La humanidad ha tardado milenios en dotarse de un lenguaje matemático consolidado y eficaz, y algunos conceptos, como los números negativos, provocaron grandes debates antes de ser admitidos y asimilados, por lo que pretender que los niños y niñas de primaria los entiendan tras unas cuantas lecciones apresuradas es un disparate (amén de una forma de maltrato infantil), y explica los preocupantes niveles de fracaso escolar en matemáticas, así como el generalizado anaritmetismo de la población, incluido el de muchas personas supuestamente cultas.

El libro de la naturaleza

Galileo dijo —con la que se podría considerar la sentencia fundacional de la ciencia moderna— que el libro de la naturaleza está escrito en la lengua de las matemáticas, lo que equivale a decir que es un flujo de ecuaciones que se ramifican y encadenan, como sugiere la consabida imagen de una pizarra atestada de números y letras, de símbolos y de signos que los conectan. Y quienes no entienden ese lenguaje (además de ser presa fácil de charlatanes y embaucadores) no pueden leer el gran libro, han de limitarse a mirar las ilustraciones.

_____________________________

Nota

(1) Cuatro siglos antes, Leonardo da Vinci, poco sospechoso de cientificismo excluyente, vino a decir lo mismo: «Ninguna investigación humana se puede proclamar verdadera ciencia si no se somete a las demostraciones matemáticas».

Importancia de la escala en el tiempo y el espacio

Discursos sobre dos nuevas ciencias, obra trascendental de Galileo Galilei, hizo a Einstein proclamar que "Galileo es el padre de la física moderna; de hecho, de la ciencia moderna".

Una de sus conclusiones más importantes se relaciona con la resistencia de los materiales. Consideremos el caso de una columna que aumente su tamaño conservando las proporciones. Como la masa crecerá paralelamente al volumen, que lo hará por igual en sus tres dimensiones, a doble tamaño lineal corresponderá un peso 2x2x2 = 8 veces mayor, mientras que su sección resistente, que lo hará con el cuadrado de la dimensión, habrá crecido 2x2 = 4 veces. El resultado será que el esfuerzo en esa sección será doble. Y será triple para triple longitud, porque 3x3x3 / 3x3 = 3. El tamaño, por consiguiente, no puede aumentar indefinidamente si conservamos las proporciones. Para no sobrepasar la resistencia del material se hará necesario reforzar la anchura.

 

Esta ley cuadrático-cúbica, que describe la relación entre volumen y área de un cuerpo a medida que aumenta o disminuye su forma o figura, fue descrita por primera vez en 1638 por Galileo en su libro. Puede expresarse así:

Cuando una forma crece en tamaño, su volumen crece más rápido que su superficie. Cuando se aplica al mundo real, este principio tiene muchas implicaciones que son importantes en campos que van desde la ingeniería mecánica a la biomecánica. Esto ayuda a explicar gran variedad de fenómenos, por ejemplo por qué a grandes mamíferos como los elefantes les cuesta más enfriarse, que a los más pequeños, como los ratones, y por qué hay límites fundamentales para el tamaño de los castillos de arena.

En efecto, un ratón del tamaño de un elefante habría de tener patas de elefante, y un elefante pequeñito como un ratón no tendría por qué mantener las sólidas columnas de sus patas.

Igual que al aumentar la escala predominan los factores relacionados con el volumen, al disminuirla adquieren mayor importancia los que tienen que ver con la superficie, como la tensión superficial. No hay burbujas gigantescas, y poco duran las de esos enjabonadores callejeros; y para las moscas una mojadura supone un problema mayor que para los mamíferos. Por algo los animales grandes necesitan un endoesqueleto, que sería superfluo para los artrópodos, cuyo exoesqueleto no es viable para tamaños mayores.

Tan interesantes cuestiones sobre escala y estructura se analizan con detalle en Sobre el crecimiento y la forma, el libro ya clásico de D'Arcy Thompson.

De muchas formas influye el tamaño en los procesos, tanto naturales como inventados por el hombre. Una de ellas tiene que ver con los límites de la velocidad de la computación que impone la velocidad máxima de transmisión de señales: la de la luz.

Los microprocesadores tienen un reloj interno que marca el ritmo de la computación. Ningún paso puede realizarse en un tiempo inferior al señalado por él. Pero ese ritmo depende a su vez de la velocidad con la que puede transmitirse, como lo explica Beamspot:

Todos los elementos que tienen que trabajar a gran velocidad y acoplados entre sí, como por ejemplo la CPU con la memoria, o con buses de comunicación de alta velocidad (o sea, video y red de comunicaciones) se encuentran con que a 1 GHz el reloj apenas se desplaza 15 cm en un cable. 10 cm en un circuito impreso. Si subimos a 2 GHz, bajamos esta distancia a la mitad: 5 cm en un circuito.

Eso implica que no podemos poner la CPU y la memoria donde nos dé la gana. Es más, todas las señales que van de uno a otro componente tienen que tener una longitud similar, y generalmente estipulada con un máximo y un mínimo.

Así que aquí también el tamaño importa. Y lo que ocurre en una computadora también limita, con el tamaño, la velocidad de transmisión de la corriente nerviosa en los animales. Se me ocurre que lo difícil de cazar una mosca tiene que ver con el reducido tamaño de su cerebro: para ella el movimiento de nuestra mano es lento: ve el mundo con una cámara mucho más rápida que la nuestra. Para la mosca nuestra vida transcurre a cámara lenta.

La escala y las leyes físicas que dominan preferentemente cada escenario según su tamaño condicionan la organización de los seres vivos. El biólogo evolucionista Faustino Cordón postula la existencia de seres vivos de tres niveles de integración (un nivel constituido por las proteínas globulares, un nivel constituido por las células y un nivel constituido por los animales) de modo que cada ser vivo de un nivel resulta de la acción conjunta de los seres vivos de nivel inferior que integran su soma. Y en cada uno de estos niveles las leyes que regulan su estructura y sus procesos dependen del tamaño de los agregados.

Uno de los niveles más básicos de estructura vital organizada es el de los virus. Su escala es precisamente la de esas proteínas, con las que interactúa.

Desde el punto de vista de la evolución de otras especies, los virus son un medio importante de transferencia horizontal de genes, la cual incrementa la diversidad genética e impulsa la evolución biológica. Debido a ello los virus, junto con los otros agentes virales (viroides y virus satélite), han sido descritos como "mobilomas" o "vectores génicos", puesto que, además de replicarse en huéspedes celulares, también transportan genes de un organismo a otro mediante la transducción del material genético.

La interdependencia entre la mínima escala vírica y la de los grandes ecosistemas, y en particular la del gigantesco ecosistema artificial creado por el hombre ha sido muy bien estudiada por Rob Wallace en su importante libro Grandes granjas, grandes gripes. Un dato impresionante sobre las escalas temporales y su brutal choque nos lo da el tiempo de evolución del genoma en los animales y los virus. Mientras en millones de años el genoma humano muta un 1% de su contenido, el de un virus lo hace en pocos días. Además, las recombinaciones, facilitadas por la coexistencia de varios virus en un mismo huésped, provocan la aparición de nuevos patógenos. Por eso hay que repetir continuamente las vacunaciones para acomodarlas a sucesivas variantes.

Al mismo tiempo, redirigimos la evolución de los virus, porque al neutralizar algunas variantes estamos promocionando otras. Puede decirse que "los estamos educando". ¡Y aprenden muy rápidamente!

Pero sobre la importancia de preservar los ecosistemas naturales de lenta evolución, alterados por otros que manipulamos (y empobrecemos) en tiempo récord, seguiremos hablando.

Los tres cuerpos (y muchos más)

El problema de los tres cuerpos consiste en determinar, en cualquier instante, las posiciones y velocidades de tres cuerpos, de cualquier masa, sometidos a atracción gravitacional mutua y partiendo de unas posiciones y velocidades dadas (sus condiciones iniciales son 18 valores, consistentes para cada uno de los cuerpos en: sus tres coordenadas de posición y las tres componentes de su velocidad).

Imaginemos para empezar dos cuerpos aislados en el espacio, sometidos a cualquier fuerza atractiva (gravitatoria, eléctrica, magnética...). Si ambos están inmóviles, o se mueven al unísono, tenderán a acercarse hasta chocar. Si se mueven en diferentes direcciones habrá una interacción entre la tendencia atractiva y la inercia que a partir de algún momento tenderá a alejarlos. Puede que acaben perdiéndose de vista; o chocando, si están suficientemente próximos y son voluminosos; o girando en un equilibrio estable alrededor de un punto intermedio. Doce variables, seis de posición (tres para cada uno) y otras seis componentes de los vectores velocidad de ambos, nos darán el resultado de la interacción.

Mientras que el problema de los dos cuerpos tiene solución mediante el método de las cuadraturas integrales, el problema de tres cuerpos no tiene solución general por dicho método y en algunos casos su solución puede ser caótica en el sentido físico del término, lo que significa que pequeñas variaciones en las condiciones iniciales pueden llevar a destinos totalmente diferentes.

Cuando el número de cuerpos a considerar aumenta resulta imposible determinar qué ocurrirá al cabo de cierto tiempo. En los sistemas planetarios con un gran astro central y cuerpos menores girando alrededor se produce un cierto equilibrio que hace las órbitas relativamente estables. Imaginad la compleja relación de las órbitas planetarias en un sistema estelar binario. Cuanto crece el número de cuerpos relativamente similares se instala el caos.

Me vino a la memoria esta comparación asistiendo a una de las sesiones del curso de Filosofía que en la Biblioteca Pública de Pontevedra imparte el profesor Domingos García. La sesión analizaba los populismos del siglo XX y actuales.

La participación en un movimiento, religión, ideología o club de fútbol se apoya en la identificación con el mismo de quienes se adhieren a él, que en parte es racional, pero que sobre todo es sentimental. Las identidades posibles son múltiples, y alguna debe predominar para que la adhesión preferida tenga suficiente fuerza atractiva.

Me vino a la memoria el concepto de afinidad electiva. Y este comentario de Michael Löwy: "naturalmente, la afinidad electiva no se da en el vacío ni en el cielo de la pura espiritualidad: es favorecida (o desfavorecida) por condiciones históricas y sociales". 

En un mundo de identidades múltiples podemos establecer una comparación con los sistemas planetarios. La atracción resulta de la doble influencia de la proximidad y la fuerza atractiva de cada propuesta. De ahí que muchas de las elecciones tengan que ver con la fuerza carismática de un individuo o de una idea.

Cuando alguna de las identidades arraiga fuertemente en quien orbita alrededor de ella, difícilmente dejará de hacerlo. Religión, cultura, lengua, entre otras muchas identificaciones, pueden unir más o menos fuertemente. En ocasiones las identidades coexisten en paz. En otras, sobre todo cuando la que aparece como fundamental peligra, todas las demás pasan a ser estorbos que hay que arrancar de raíz.

¿Son tan electivas las afinidades que producen las identidades? No todas están a nuestro alcance. La fuerza gravitatoria es muy diferente. La elección, como las elecciones políticas y los dados de los tahures, suele venir cargada, sin necesidad de que haya pucherazo en el sentido técnico del término coloquial.

La amistad solo se da entre iguales. La que se da entre señor y vasallo está teñida de condescendencia o servilismo. La democracia, de modo similar, solo es efectiva si todos los participantes son iguales, además de en el valor del voto, en conocimiento, información y la libertad real que da la independencia, sobre todo económica.

La estabilidad de las órbitas alrededor de una identidad dominante (sea patriótica, religiosa o cultural) está limitada por la capacidad de mantener el dominio en el tiempo. Mucho duró el imperio egipcio. Modernamente, otros astros interactúan para hacerla efímera, y las inestables órbitas son poco previsibles. ¡Demasiados cuerpos en presencia!