Si en la última entrega se hacía un resumen de las perspectivas axonométricas, obtenidas proyectando sobre un plano cualquiera los puntos del objeto según una dirección arbitraria mediante rayos paralelos, para obtener una imagen semejante a la sombra que produce el sol, ahora vamos a acercar el centro desde el que proyectamos el tal objeto; desde el infinito (o "casi") hasta un punto cercano.
Las imágenes obtenidas tendrán ahora más realismo, puesto que una perspectiva "casi" paralela solo la ofrecen objetos pequeños vistos a mucha distancia. Lo más parecido a eso es lo que se ve por un catalejo, y sabemos cómo así se pierde la sensación de profundidad. En cambio, vistos desde cerca, los distintos tamaños aparentes de objetos iguales dan al ojo una información más segura sobre las distancias a que se hallan unos y otros.
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Nuestro referente geométrico continuará siendo (cómo no) el cubo. Comenzaremos estableciendo la correspondencia de sus elementos con los de la imagen proyectada:
El conjunto de las rectas del espacio que pasan por un punto (vértice) es una radiación. Rectas de una radiación por el punto de vista tomado como vértice son las que deben proyectar las figuras del espacio en un plano, produciendo imágenes.
Un punto del infinito (que no es más que el lugar en que se encuentran las rectas paralelas a una dirección) también produce una imagen, y las imágenes de esas paralelas concurren en ese punto imagen ("punto de fuga").
En el cubo que es objeto de la proyección consideraremos un vértice (el más alejado del plano del cuadro) y las tres aristas concurrentes en él, definiendo un triedro trirrectángulo. Por el punto de vista trazaremos otro triedro de caras y aristas paralelas a las del primero, y observaremos la intersección de este segundo triedro con el plano del cuadro y con el del infinito. Como los elementos proyectantes (rectas y planos por el punto de vista y por el vértice del cubo) son paralelos en ambos, los puntos y rectas del infinito de ambos triedros coinciden y su proyección sobre el cuadro es la misma: son los puntos de fuga y horizontes de las aristas y caras del cubo.
Así que las aristas del cubo y las del triedro trazado por el punto de vista comparten sus puntos del infinito, y las imágenes de esas aristas coinciden en los correspondientes puntos de fuga.
Pero en el cubo hay otros elementos además de vértices y aristas, como diagonales y planos de simetría. Veamos algunos de esos elementos, como la diagonal que une dos vérticas opuestos. Es un eje ternario contenido en tres planos de simetría, planos diagonales:
Si añadimos al triedro de caras paralelas a las del cubo otras rectas y planos paralelos a los elementos del cubo, como todas las diagonales del cubo, las de sus caras y todos los planos de simetría, tendremos un conjunto de "elementos límite" de todos ellos sobre el plano del cuadro. Serán puntos de fuga y horizontes, relacionados entre sí como lo están los elementos del cubo.
Los elementos básicos en ese conjunto de elementos límite forman un triángulo, con sus vértices, y otras tres rectas parten de éstos. Estas rectas ("cevianas"), concurren en un punto. Son los horizontes de los planos de simetría mencionados antes, y el punto común es el de fuga del eje ternario.
Pero en el cubo hay más elementos de simetría a considerar:
Y para ajustar su imagen hay que tener en cuenta los elementos límite:
En conjunto, el triángulo principal queda enriquecido con otros elementos límite, fuertemente correlacionados entre sí:
En cada recta límite que es el horizonte de un plano de simetría, encontramos cuatro puntos de fuga, correspondientes a cuatro ejes de simetría. Puede ser una sorpresa descubrir que esos cuatro puntos forman una cuaterna armónica (recordemos que eso significaba que eran proyectivos, y perspectivos por lo tanto, con los extremos de un segmento, su punto medio y el punto del infinito de la recta a la que pertenecen todos ellos).
Pues bien; si construimos un triángulo con tres cevianas tendremos en cada una tres puntos, que son: un vértice, un punto del lado opuesto y la intersección de las mencionadas cevianas. Si tomamos ese punto común a ellas como imagen del centro de un segmento y los otros dos como las imágenes de sus extremos, el cuarto punto ("cuarto armónico"), corresponderá a la imagen del punto del infinito.
Tendremos así un conjunto de horizontes de planos de simetría, y en sus intersecciones los puntos de fuga de los seis ejes binarios, los cuatro ternarios y los tres cuaternarios que posee el cubo.
Ese conjunto de horizontes y puntos de fuga es proyectivo con los elementos del infinito de un cierto cubo deformado, que en general será un paralelepípedo oblicuo, que servirá para definir un espacio euclídeo, homogéneo pero casi nunca isótropo.
Porque para que ese espacio sea cartesiano, respetando la ortogonalidad entre rectas y/o planos, y con ello la isotropía, se necesita algo más. Para empezar, el triángulo principal no podrá tener ángulos obtusos. También hay que garantizar que el triedro que en él se apoya sea trirrectángulo, por lo que sus caras deben ser triángulos rectángulos. Y las cevianas deben venir determinadas por las bisectrices de los ángulos rectos:
Si se observa con atención esta representación en el plano imagen de lo que las distintas rectas trazadas en el cubo objeto proyectan sobre el plano del infinito (esa esfera celeste, la única inmensa esfera que es paradójicamente plana), encontraremos que en el triángulo principal, formado por los horizontes de los planos principales, están los tres puntos de fuga de los ejes cuaternarios y las aristas, que son sus vértices, y tres puntos de fuga de ejes binarios y diagonales de las caras, además del punto de fuga de un eje ternario coincidente con una diagonal del cubo, en el que se cortan los horizontes de tres planos diagonales.
Pero fuera del triángulo hay más fugas y horizontes, hasta completar los de todos los elementos de simetría del cubo: en total, siete planos (tres principales y cuatro diagonales) y trece puntos de fuga de los ejes (tres cuaternarios, cuatro ternarios y seis binarios.
Imaginad la figura como una fotografía plana del infinito, una constelación en el firmamento geométrico, en el que se nos aparece... ¡la imagen del cuadrado, con sus ejes de simetría y su horizonte, que hemos visto en la última lámina de la entrega III-b!
