El dibujo en la ingeniería (V-b)

Esta ha sido la anterior entrega y en en esta otra inicié la serie, Prosigo con la ayuda que la proyectividad ofrece, para aprovechar al máximo las mallas de referencia.

Compárense las siguientes dos representaciones de un cuadrado y se hallarán muchos elementos comunes, más allá de las distorsiones perspectivas. A cada uno de los puntos propios de la primera le corresponde otro de la segunda, e igualmente ocurre con las direcciones que conducen las paralelas a puntos del infinito, que en la segunda son convergencias sobre un horizonte.

Y las rectas paralelas al horizonte de la segunda representación conservan las proporciones entre sus segmentos que se pueden observar en la primera:

Las mallas son una gran ayuda para la representación. Por eso conviene conocer cómo se transforma una malla en las deformaciones perspectivas, porque nos guiará para transformar proyectivamente las figuras asociadas a ellas. Estas son las mallas más comunes:

Como ejemplo, esto es lo que ocurre en la transformación de un polígono regular: todas las líneas y puntos hallan su correspondiente:

Figuras no regulares pueden ser enmarcadas en mallas y transformarse proyectivamente con ellas.

La circunferencia inscrita en un cuadrado, ¿en qué se transforma al deformarlo proyectivamente?

Pues cuando el cuadrado muta en paralelogramo, en una elipse:

Igualmente ocurre cuando el cuadrado se convierte en un trapecio:

Y hasta en un trapezoide, como ocurre en las perspectivas "con horizonte":

¿Pero qué ocurre si nos llevamos un lado del cuadrado a una distancia infinita? Pues que el punto de tangencia de la circunferencia situado en él se aleja también infinitamente. Y la curva cónica con un punto en el infinito es una parábola.

He aquí otra transformación del cuadrado que conduce a una parábola, cuando el horizonte corta en dos al cuadrado pero se mantiene tangente a la circunferencia:

Si el horizonte corta al cuadrado en su paralela media, la circunferencia se convierte en hipérbola, con dos puntos en el infinito:

He aquí otra transformación de la circunferencia en hipérbola, con el horizonte en la diagonal del cuadrado:

Hemos descubierto, con estos ejemplos, que todas las cónicas pueden ser representadas  proyectivamente por otra cualquiera, con una correspondencia biunívoca entre todos sus puntos.

(sigue)