Capítulo V
Espacios cartesianos y euclídeos
Es recomendable encadenar esta serie a partir de su inicio, pero en todo caso conviene echar un vistazo al capítulo anterior. Para descargar este nuevo capítulo en PDF hay que pulsar aquí.
Cualquier espacio se configura al situar en él objetos, porque un vacío sin límites no es propiamente un espacio, si en él no aparecen relaciones entre objetos. Puntos, líneas y superficies son los elementos que necesariamente lo habitan, porque los volúmenes son únicamente porciones del mismo espacio. Cada uno de estos elementos es en sí mismo un espacio, con una única característica necesaria, la continuidad. Si les exigimos, además, la homogeneidad, se tratará de puntos, rectas y planos.
La forma más simple de situarnos en un espacio es el empleo de una unidad repetible del mismo. Si sobre la recta es un segmento unidad y sobre el plano el cuadrado, el cubo es la unidad de espacio más simple y homogeneizadora.
El problema es la representación unívoca e inequívoca en un plano, espacio bidimensional, de un apilamiento tridimensional de cubos. Algo del último se pierde en el primero. Para empezar, en muchas ocasiones la medida, en otras la proporción. Lo lejano se empequeñece hasta la insignificancia.
Pero dos cosas se conservan en una representación coherente, si se hace sobre un plano y proyectando la imagen desde un punto de vista, sea cercano o tan lejano como se quiera; porque la luz, el mensajero universal, a efectos prácticos nos ha enseñado lo que es la línea recta.
La recta es precisamente lo que comparten objeto e imagen, y esta es la primera coincidencia.
La segunda es la pertenencia: si un punto pertenece a dos o más rectas en el objeto, necesariamente la imagen de ese punto ha de ser compartida por las imágenes de ellas.
Con estas dos sencillas premisas podemos empezar a trabajar nuestro cubo unitario, buscando en él puntos y rectas que mantengan esas condiciones de rectitud y pertenencia.
En las figuras siguientes se han localizado los puntos notables del cubo, que son los de sus caras, a los que hay que añadir su centro. Son en total veintisiete puntos (ocho vértices, doce centros de aristas, seis de caras y el centro del cubo).
A continuación, tres tipos de rectas que, además de las situadas en sus caras, unen algunos de esos puntos notables: centros de caras y de aristas y vértices. Se trata de los ejes de simetría cuaternario, ternario y binario, por el número de giros que hacen coincidir la figura consigo misma.
Y, por último, dos tipos de planos de simetría, a los que denominaremos planos cardinales y planos diagonales.
Estas son las relaciones entre esos ejes y planos de simetría: planos por cada eje, ejes en cada plano.
Pero aún hay un tipo de plano que nos interesa y que no es de simetría bilateral. Es el perpendicular a un eje ternario por el centro del cubo, que contiene a tres ejes binarios. Está representado en las figuras de la parte superior, mientras en la inferior aparecen sucesivamente los tres ejes cuaternarios, los cuatro ternarios y los seis binarios. Toda una apoteosis del número doce...
Los tres tipos de planos y los ejes que contienen:
Dos espacios definidos por sus unidades. Ambos son continuos y homogéneos. Solo el segundo es, además, isótropo.
Los dividimos en tres partes, dos tetredros y un octaedro; ninguno de ellos es regular.
Pero estirando adecuadamente el espacio en la dirección de un eje ternario logramos que lo sean:
Cada uno de los tetraedros define un espacio euclídeo (continuo y homogéneo). El segundo es, además, isótropo, y por ello es un espacio cartesiano.
Representemos ahora tres espacios por sus unidades, añadiendo ahora sus puntos límite, que son las proyecciones de los puntos del infinito de los ejes, de los que son imagen.
En la primera figura los ejes, sus unidades y sus puntos límite son arbitrarios. En la segunda uno de los ejes es vertical y su punto límite se ha alejado infinitamente; por lo tanto, se trata de un eje paralelo al plano de proyección. En la tercera son dos los ejes paralelos al plano de proyección, con lo que es paralelo a él el plano que los contiene.
Respectivamente se trata de perspectivas de tres, dos y un punto de fuga.
Ahora todos los puntos límite se alejan al infinito, con lo que todas son perspectivas paralelas. La primera es la caballera, con un plano frontal y una dirección de proyección oblicua. la segunda, isométrica, tiene frontal el rayo proyectante, en la dirección de un eje ternario del cubo: es la perspectiva isométrica. La tercera, también frontal, proyecta el cubo desde una direción arbitraria. Imposible que sea frontal la cuarta, pero ¿podría ser la perspectiva oblicua de un cubo'
Utilizando una perspectiva paralela y otra central, con unidades y puntos de fuga arbitrarios, pero respetando las condiciones antes vistas de rectitud y pertenencia, veamos lo que pasa con los puntos y ejes señalados en el cubo. Los puntos del infinito coincidentes de la primera se convierten en puntos de fuga para la segunda. Son respectivamente los puntos de fuga de un eje cuaternario, otro ternario y otro binario:
Y lo mismo ocurre con los planos que contienen a los ejes, que en la segunda perspectiva, con puntos de fuga propios, definen rectas límite u horizontes. En cada horizonte los puntos de fuga forman cuaternas armónicas (véase capítulo II, fig. 75 y siguientes).
En la figura inferior se representan los tres horizontes correspondientes a los planos cardinales y las "líneas de tierra", que representarían las interseciones de dichos planos con el de proyección.
¿Pero qué ocurre cuando queremos representar todos los puntos y rectas límite correspondientes a todas las rectas y planos considerados en este análisis del cubo? Entonces, las cuaternas armónicas definidas por los puntos origen, unidad, medio e infinito en cada eje, y las que forman los puntos límite en el horizonte de cada plano nos proporcionan una figura compuesta por trece puntos y nueve cuaternas.
Representada en la figura 206, destacando los horizontes de los planos cardinales y los puntos de fuga de los ejes cuaternarios, en la figura 207 se ha optado por destacar los puntos de fuga de los ejes ternarios y los horizontes de los planos diagonales.
¿Qué nos dice esta última imagen, en la que además hemos cambiado la denominación de los puntos? Compárese con la figura 111 del capítulo III, con la que se corresponde exactamente.
Se trata de la perspectiva de un cuadrado, en la AB y CD son sus paralelas medias; E, F, G, H son los vértices, y finalmente I, J, K, L son los puntos de fuga, representantes de los impropios, del infinito. Trece puntos y nueve cuaternas armónicas que componen un "cuadrilátero completo", perspectiva de un "cuadrado completo".
Interesante, y hasta poético, hallazgo: sobre el firmamento del plano del infinito, el "cubo completo" proyecta un "cuadrado completo" en perspectiva.
Hagamos la comparación anterior en otras perspectivas definidas por sus horizontes arbitrarios y dos puntos arbitrarios más sobre ellos, correspondientes a ejes binarios:
Otro ejemplo más:
Y aún otro. En todos ellos aparecen perspectivas de cuadrados, reconocibles aunque descoyuntados. Imaginaos dentro de una plaza cuadrada. Si de frente miramos hacia una esquina y vemos en el suelo un vértice y dos lados, a nuestra espalda quedará el resto de su perspectiva. Difícil de ver para nosotros, animales depredadores con visión frontal. Pero a los depredables con visión total a ambos lados (por la cuenta que les tiene) no les resultaría cosa extraña. Cada ojo vería su mitad.
Este otro ejemplo nos muestra lo mismo. Ahora se trata de la perspectiva central "isométrica", en la que el punto de vista se halla en un eje ternario del cubo unidad.
En esta otra perspectiva frontal, el cubo se apoya en el plano del cuadro y el punto de vista se coloca sobre una arista.
A continuación, perspectivas en las que asociamos cada triángulo de horizontes a su cuadrado correspondiente. Si consideramos que son perspectivas de un cuadrado, el triángulo no puede ser regular. Y viceversa.
Observación final: si a los veintisiete puntos propios considerados en el cubo les añadimos los trece impropios del plano del infinito, tendremos los cuarenta puntos representativos del cubo completo.
Ahora, como dice al despedirse el amable conductor de nuestro flamenco, "y nada más, amigos, muchas gracias por habernos acompañado".
Pero como diría Bugs Bunny, "¡no se vayan todavía, aún hay más".
