¿En qué sentido es el tiempo una sucesión infinita? (I)

Con la notable excepción de los atomistas, los filósofos de la antigüedad concebían la materia no sólo como infinitamente acumulable, sino también infinitamente divisible.

De esta concepción intuitiva surgió en la geometría una idea de infinito. En cualquier porción de recta hay infinitos puntos, lo que significa que dados dos cualesquiera, por próximos que estén, siempre existirá otro intermedio, y así podremos intercalar tantos como deseemos, en una serie infinita. Entonces nos encontramos con dos concepciones que se confunden, y que parecen iguales: un infinito por subdivisión y otro por prolongación. Nacen juntas, en la recta “real”, la idea de infinito (prolongación) y la de infinitésimo (subdivisión).

Pero hay otra noción aritmética de infinito, no como una sucesión continua de entes infinitesimales, sino como una enumeración de entes discretos. Esta es la idea de número “natural”. Cualquier conjunto ordenable lo es porque se asocia cada uno de sus elementos de modo inequívoco (“biunívoco”) a un número natural. Y entre los conjuntos numerables (que es lo mismo que ordenables) existen otros conjuntos de números, como los enteros (positivos, cero, negativos), los pares, los múltiplos de cualquier número, los números fraccionarios, los números primos, los factoriales n! (obtenidos como producto de los n primeros números naturales), etc.

De manera que el quinto número natural es efectivamente 5, pero el quinto número entero podría ser  -2 (considerando la sucesión: 0, 1, -1, 2, -2…), el quinto par 10, el quinto fraccionario 1/3 (si los ordenamos así: 1/1, 2/1, 1/2, 3/1, 2/2, 1/3, 4/1, 3/2, 2/3, 1/4…), el quinto múltiplo de 3 es 12 (0, 3, 6, 9, 12…), el quinto primo 11 (2, 3, 5, 7, 11…), y, como último ejemplo, el quinto factorial es 24 (0!=1, 1!=1,  2!=1x2=2,  3!=1x2x3=6, 4!=1x2x3x4=24…).

Naturalmente, podríamos adoptar otros criterios para numerar los números, pero en cualquier caso, una vez establecido, cada uno ocuparía un único lugar.  Con el criterio anterior, el décimo número de cada conjunto sería, respectivamente 10, 5, 5/1, 27, 29, 362880…

Puede resultar sorprendente para un profano en matemáticas la disparidad entre los valores obtenidos en las sucesiones, pero todos estos números, llamados al orden, disciplinadamente irían ocupando su lugar, en fila india…

(sigue)