Los números naturales nos enseñan a ordenar elementos discretos. Los racionales, si se representan como fracciones, se pueden numerar, y por tanto ordenar. Recordemos aquel orden posible 1/1, 2/1, 1/2, 3/1, 2/2, 1/3, 4/1, 3/2, 2/3, 1/4… que habíamos establecido ya y que no deja ninguna fracción sin su lugar.
Analizaré este mecanismo de ordenación por si no quedó claro. Partimos de los números naturales, representados como fracciones de denominador unidad: 1/1, 2/1, 3/1, 4/1…
En cada uno de los casos sumamos numerador y denominador, y descomponemos la suma en dos sumandos de todos los modos posibles: 2+1 = 3 nos da los pares (2,1) y (1,2), que considerados como fracciones dan 2/1 y 1/ 2.
3+1 = 4 equivale a cuatro sumas posibles: 3+1 = 2+2 = 1+3; y nos da las fracciones 3/1, 2/2, 1/3. Para evitar duplicidades, eliminamos 2/2, porque es lo mismo que 1/1, que ya estaba en la lista.
4+1 = 5 equivale a: 4+1 = 3+2 = 2+3 = 1+4, y origina las fracciones 4/1, 3/2, 2/3, 1/4.
Si proseguimos indefinidamente, cualquier m/n estará en la lista en su lugar preciso, con su número natural de orden, dentro del grupo de fracciones ordenadas por los pares de números que suman m+n, siendo el primero del par (numerador) decreciente a partir de m+n-1 y el segundo (denominador) creciente a partir de 1.
De manera que si m = 71 y n = 32, encontraremos el lugar de 71/32 (que en notación decimal sería 2'21875) en la tanda del 103: 102/1, 101/2, 100/3, ... , 72/31, 71/32, 70/33, ... , 3/100, 2/101, 1/102.
Esta fracción ocupa por lo tanto un lugar exacto en la fila, cuyo número de orden no me apetece calcular ahora. Quede como ejercicio para quien se atreva (os advierto que es bastante lioso, porque una vez compuesta la lista habría que ir tachando las fracciones que se pueden simplificar, para no repetir un mismo valor racional en dos posiciones).
De manera que si m = 71 y n = 32, encontraremos el lugar de 71/32 (que en notación decimal sería 2'21875) en la tanda del 103: 102/1, 101/2, 100/3, ... , 72/31, 71/32, 70/33, ... , 3/100, 2/101, 1/102.
Esta fracción ocupa por lo tanto un lugar exacto en la fila, cuyo número de orden no me apetece calcular ahora. Quede como ejercicio para quien se atreva (os advierto que es bastante lioso, porque una vez compuesta la lista habría que ir tachando las fracciones que se pueden simplificar, para no repetir un mismo valor racional en dos posiciones).
El sargento de la brocha podría ir pincelando todos estos números sucesivos hasta el límite físico dado por sus instrumentos (un finísimo pincel y una enorme lata de pintura). Para cada tanda dada por m+n tendría que avanzar hasta un número m+n y luego ir retrocediendo hasta llegar a 1/(m+n). Agotador, sobre todo si se tiene en cuenta que el primero de la tanda se alarga infinitamente y el último se acerca indefinidamente al cero.
Este orden saltarín nos desconcierta. Seguramente los antiguos, antes de la invención de los sistemas numéricos posicionales, como el nuestro decimal, no podían traducir fácilmente a magnitudes comparables esta forma de ordenar los números racionales. Para nosotros, la lista para dar los brochazos en su sitio quedaría así: 1, 2, 0’5, 3, 0’3333…, 4, 1’5, 0’6666…, 0’25, y así sucesivamente.
Es un gran avance nuestro, que nos coloca cuantitativamente sobre una recta racional, preludio de la recta real continua.
¿Os imagináis a un decurión romano tratando de comparar y ordenar de buenas a primeras las fracciones MCCXII / MDVIII y CMXXV / MCCCI?
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