Los elementos sucesivos coordinables entre sí de dos conjuntos numerables y finitos se emparejan sin ningún problema, sean siete o siete mil (si obviamos la diferente penosidad de la labor). Pero ¿qué ocurre si son conjuntos de infinitos elementos, como los numéricos antes definidos?
Consideremos los números primos. Cada uno de ellos es también un número natural.
Sea un ejército infinito de soldados formados en columna de a dos. A los números de una fila el sargento les va dando ordenadamente números naturales sucesivos: uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis… A los de la otra, en el mismo orden, números primos sucesivos: dos, tres, cinco, siete, once, trece…
Ahora, ordena romper filas a los primos (descubriremos pronto por qué son realmente primos, y cuanto más altos más primos) y los manda emparejarse con los naturales correspondientes. El primero de la fila, que era el dos, retrocede un puesto, y el tres otro; el cinco, que estaba en tercer lugar, retrocede dos; el siete retrocede tres y pasa del cuarto lugar al séptimo, el once seis puestos, el trece siete… el veintinueve, 19… el 71 debe retroceder 51… ¿Cuántos debería retroceder el 510569, que también es primo, muy primo?
Si el malvado sargento decidiese dar a los números de la segunda columna valores tomados de otras sucesiones lo podrían tener peor. Así, con factorial de n (recordemos que n! = 1×2×3×… ×n), el décimo de la fila debería desplazarse al lugar 362880…
En el infinito aritmético numerable hay series de elementos que avanzan sin cesar, pero con ritmos diversos, de modo que con la veloz imaginación se pueden emparejar (numerar) infinitamente, pero considerado como proceso es problema que se agrava a lo largo del mismo. Podemos decir, con un retruécano, que un infinito numerable es un conjunto innumerable.
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