Las cuádricas, superficies expresadas analíticamente por ecuaciones de segundo grado, pueden ser estudiadas también como transformaciones proyectivas de la más simple de ellas, la esfera.
Recordaré que estas transformaciones conservan la correspondencia entre puntos, rectas y planos, así como las relaciones de inclusión que se dan entre estos elementos más simples del espacio.
Empecemos por las cuádricas elípticas, aquellas cuyos puntos son elípticos, lo que significa que un plano tangente sólo comparte con ellas el punto de tangencia. Por el contrario, las cuádricas hiperbólicas cortan a la superficie, como veremos más adelante.
Este amelonado submarino amarillo es un elipsoide de revolución, la cuádrica que más fácilmente relacionamos con la esfera.
Una explicación algo más larga, en gallego, antes de presentar a las cuádricas de revolución:
A las superficies les ocurre como al hombre invisible, al que no vemos sin colocarle algo por encima. Por eso la esfera y su transformada más simple se visualizan trazando en ellas paralelos y meridianos:
Estirando el elipsoide hasta que un polo se aleje infinitamente tendremos un paraboloide elíptico (de revolución, por el momento):
Pero si queremos ir "más allá del infinito", el polo se irá más lejos, y en el infinito quedará un paralelo. Lo mejor del caso es que lo que la porción de cuádrica que se pasó "al lado oscuro" regresa por la retaguardia.
Hiperboloide elíptico se llama esa figura:
Para estudiar otras transformaciones espaciales menos simples de la esfera vamos a utilizar una relación entre puntos y planos que ya vimos, referida al plano, en este otro lugar, relación que sobre el plano establecía la circunferencia entre puntos y rectas. Se trata de la polaridad:
Ahora, en la polaridad que relaciona biunívocamente cada plano del espacio con su polo y cada punto, como polo, con su plano polar, aparece además una relación entre rectas, que hace corresponder a la que une dos polos con la que es intersección de sus planos polares. Y también el plano que determinan tres polos con el punto (polo a su vez) de intersección de los tres planos polares correspondientes:
De tal modo, la esfera puede hacerse corresponder consigo misma sin que lo hagan los puntos del espacio, porque si desplazamos el ecuador hasta un paralelo, el centro se acercará a un polo:
Con tres planos cualesquiera que corten a la esfera tendremos otra imagen de la misma que, conservando su superficie, deforma todo el espacio:
Comprobemos cómo se deforma con ese espacio el cubo circunscrito a la esfera. Los polos correspondientes a los planos polares que pasaban por el centro de la esfera estaban en el infinito. Ahora pasan a ser puntos propios. Compruébese que también en el espacio la transformación polar conserva las cuaternas armónicas:
La esfera comparte con el cubo circunscrito a ella una serie de ejes y planos de simetría, en los que se establecen numerosas cuaternas armónicas entre sus puntos alineados. Son estos:
Cuando el cubo se transforma en un prisma, todos esos puntos lo hacen con él, y la esfera lo hace también en un "pepino" de revolución:
Este ejemplo sencillo nos servirá para abordar otras transformaciones.
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