Perspectiva unificada XIII

Al Método de perspectiva unificada, cuya difusión en Internet comencé aquí, lo acompañaban algunas láminas, para mejor fijar ideas y experiencias.

Las primeras láminas son recortables, "modelos para armar". Para que, como ocurre con el libro de Julio Cortázar, donde el lector deja de serlo para convertirse en una parte activa que va destejiendo imagen tras imagen, frase tras trase, con el fin de descubrir el hilo conductor del relato y así dar forma y figura a los personajes del espacio literario, en este otro libro el disfrute será manejar los modelos en el espacio físico, sin dejarlos morir nebulosamente en un estrecho y olvidadizo reducto mental.

La fuerza de los modelos tangibles nos suele empujar (no creo ser un caso único) a pasar de la idea al acto, y en este caso del desarrollo plano al cuerpo en el espacio. Es este un estimulante proceso circular (¿dialéctico?) de ida y vuelta entre el sólido en su entorno y sus representaciones planas.

Un ejemplo es el mapa Dymaxion que, por la mínima deformación que se produce al proyectar la esfera sobre sus veinte caras triangulares, tanto desplegado como en su transformación poliédrica deja ver un planeta más acorde con la forma real de las masas continentales que la mayoría de los mapas globales.

Desplegado, nos enseña mejor que cualquier otro mapamundi la forma de los continentes, su dimensión relativa sin deformaciones sensibles y las rutas continentales entre los diferentes lugares, mostrando la longitud real de las distancias a recorrer. Si al montar el icosaedro obtenemos algo muy parecido a la esfera terrestre, en el mapa extendido vemos instantáneamente la magnitud real del Océano Ártico, que en otros mapas no se percibe, en relación con la Antártida y con el resto de las masas terrestres. La costa siberiana no es tan larga como nos parecía.

Esto funciona razonablemente bien porque icosaedro y dodecaedro, sólidos de superficie desarrollable, aproximan muy bien la esfera, que no lo es. Pero en cambio no pueden acoplarse entre ellos, como ocurre con el cubo, para llenar uniformemente el espacio. Por eso, para mis propósitos analíticos, y luego proyectivos, del espacio cartesiano --continuo, homogéneo, isótropo-- no me resultaban útiles.

Alguna vez me propuse extender el estudio del cubo y sus simetrías a estos poliedros, para obtener sus huellas en el infinito. El cubo tiene trece ejes de simetría (seis binarios, cuatro ternarios y tres cuaternarios), con otros tantos puntos del infinito, pero el dodecaedro tiene treinta y uno: quince binarios, diez ternarios y seis quinarios. Si habíamos imaginado aquellos trece puntos límite como otros tantos astros proyectados en el firmamento, la constelación del dodecaedro sería aún más espléndida, con sus ejes proyectándose en el cielo nocturno de un universo dodecaédrico. ¡Qué imagen seductora! bueno, al menos para mí...

Las intersecciones entre las caras del dodecaedro y el icosaedro producen, además del poliedro convexo, otros estrellados, creándose una maraña de caras y aristas bastante compleja. El cubo, en cambio, carece de prolongaciones estrelladas, y su simplicísima geometría lo hace idóneo para estudiar la proyectividad de su trama espacial. Aquí dejo unos sólidos para construir que ayudarán al curioso a entender el espacio que ocupamos y compararlo con el que vemos

Las imágenes I, II y III que siguen corresponden a los desarrollos de sólidos tetraédricos resultantes de cortar, por un plano próximo a un vértice, un ortoedro, un cubo y un paralelepípedo oblicuo. Los cuadriláteros dibujados en el vértice responden a la forma y proporción de los respectivos poliedros. Las líneas discontinuas son las intersecciones con planos que en el cubo son de simetría, pero no necesariamente en otros paralelepípedos.

IV y V: desarrollos del ortoedro y el paralelepípedo oblicuo, señalando en ambos el plano que los corta.

VI: lo mismo para el cubo, con la huella del plano de corte señalada sobre su desarrollo.

VII: el plano de corte y sus intersecciones con los planos de simetría que contienen a un vértice. La figura está pensada para plegarla por la mitad y poder observarla desde ambas caras.

VIII: este es el tetraedro que se puede acoplar sobre la figura anterior.

 
IX: a continuación, los puntos límite y horizontes que correponden a todos los ejes y planos del cubo.

X y XI son las dos partes en que el plano corta al cubo, para comprobar las coincidencias con ambas caras del plano de intersección.

XII y XIII: aquí se han añadido las huellas de los planos de simetría sobre la superficie del cubo.

 
XIV y XV: en estas dos figuras el cubo se divide por el punto de vista y uno de sus planos de simetría.

XVI: aquí quedarán a la vista todos los ejes y planos de simetría:

XVII: otra sección por el punto de vista.

XVIII: una parte del cubo en que se cortan todos los ejes y planos de simetría. ¿Veis en el corte la proyección plana de los elementos del infinito?

XIX: la otra parte del cubo seccionado, en que vemos la misma proyección de elementos límite desde el otro semiespacio.

 
Si construís las figuras y buscáis cómo se acoplan entre sí entenderéis de un vistazo lo que ocultan, con su prolijidad, la mayoría de las representaciones perspectivas, con sus construcciones casuísticas que ocultan la gran unidad de todo el mecanismo proyectivo.

Aún quedan una cuantas láminas. Espero que sean divertidas.

(sigue) 

Todos contra todos hasta el boom final

El (interesadamente) ideologizado concepto de competitividad carece de sentido fuera de ámbitos muy concretos y solamente entre individuos potencialmente equivalentes. Su empleo en las sociedades de clases tan solo conduce a un éxito relativo dentro del grupo, y en contadas ocasiones (pregonadas y mitificadas) lleva al real ascenso social. Muchas veces por caminos inconfesables.

Y eso en fases expansivas, porque en sociedades estáticas o declinantes (como guste o no es el caso de las nuestras) se vuelve casi imposible. Claro que la moral del éxito conduce a la culpabilización del perdedor, incluso ante sí mismo, y ese es el efecto buscado por quienes sostienen esa falsa ética.

Es falso que la naturaleza sólo ofrezca ejemplos de "libre competencia". La simbiosis es un fenómeno tan extenso como la depredación, y hay ejemplos de sociedades animales y humanas de tipo colaborativo. Nuestro propio cuerpo es un ejemplo de organismo solidario, y el interés compartido no atañe únicamente a las células propias, sino a numerosos microorganismos que lo acompañan con beneficio mutuo.

Porque la lucha de todos contra todos no puede tener buen fin, como se cuenta en este relato que re-publiqué en este blog hace ya tiempo.
 

Todos contra todos hasta el boom final

Armando B. Ginés

Rebelión

El pensamiento capitalista vive de retales ideológicos. Un poquito de liberalismo estético de Montesquieu y Locke y un mucho del economicismo mercantil de Adam Smith adornado con la socialización de las pérdidas cuando la mano inocente del mercado da al traste con la megalomanía de algunos visionarios instalados en las multinacionales de mayor poderío financiero.

Pero de donde más chupa ideología la derecha reaccionaria para justificar moralmente sus políticas desigualitarias es del denominado darwinismo social, desde cuya teoría, tergiversando sin vergüenza alguna al mismísimo Darwin, ve la lucha de la existencia como una batalla feroz de todos contra todos en la que los más fuertes o listos o hábiles ganan la guerra social por méritos propios incontestables. 

De mucha maneras se ha adaptado a contextos distintos y épocas diferentes esa máxima falsa de que los fuertes siempre ganan, sancionando una ética bélica en la que los débiles deben llevarse la peor parte y ser esclavos, siervos o asalariados de los vencedores. Tal hipótesis se ha naturalizado a todos los efectos, formando un humus ideológico que atrapa las conciencias de modo subliminal. 

Si no tengo éxito, es mi culpa. Si soy un marginado, es mi responsabilidad. Si no tengo trabajo, la razón estriba en que no he competido adecuadamente en la pugna sin tregua por la asignación de recursos. El mercado nunca se equivoca. Las elites se conforman bajo una ley inflexible e inamovible: fuertes arriba, débiles abajo. 

Esa competitividad extrema extraída de las investigaciones de Darwin es espuria. El darwinismo sí dice que en la lucha por sobrevivir tienen más posibilidades de salir adelante los que mejor se adaptan a los contextos biológicos y culturales en permanente cambio, los más aptos, en definitiva, en una situación histórica dada de millones de años de evolución. Eso sí, a la par con ello también habla de la ayuda o apoyo mutuo entre especies, incluso distintas, como un factor indispensable para la socialización de los esfuerzos mancomunados y el desarrollo de la inteligencia colectiva, incluso de la libertad y la iniciativa privada. 

Es más, estudios posteriores en animales y culturas primitivas (y no olvidemos que el ser humano es un animal más dentro de la diversidad de la vida) descubrieron que el factor “ayuda mutua” era más relevante en la evolución que la guerra de todos contra todos. De hecho, está demostrado científicamente que la solidaridad permite un ahorro de energías y fuerzas muy superior al despilfarro de la competencia pura y dura con el semejante o contra un adversario de otra especie. 

Toda explicación de la ciencia, de la hipótesis a la teoría, busca generalizaciones elegantes y sencillas donde la economía en los planteamientos ofrezca resultados óptimos sin complejidades o adherencias superfluas. Y que el gasto de energía es menor en una empresa mancomunada frente a cientos, miles o millones de esfuerzos individuales con el único propósito de salvar el propio culo, salta a la vista sin necesidad de elucubraciones demasiado sofisticadas. 

En la realidad animal (insectos, aves, roedores y mamíferos principalmente) se ha comprobado fehacientemente que ante las inclemencias del tiempo y otros desastres naturales, la especie activa una conciencia primaria de carácter solidario que hace las veces de llamada general para intentar solventar la crisis al grito de todos a una. Y salen soluciones inteligentes, como dijera Kropotkin. Inteligentes sí, algo que no es privativo del género humano según Frans de Waal. De Waal sostiene que las diversas inteligencias del reino animal son incomparables, cada cual responde a sus necesidades de una manera particular y eficiente. 

Cierto es que todos estos argumentos se la trae al pairo a las elites del capitalismo global. Resulta más hermosa la competitividad sin freno, siempre y cuando los ganadores se sitúen en la misma clase social, la de los poseedores, los grandes empresarios, la nobleza de los negocios. 

Nos asombramos cuando algunas noticias de enorme calado pasan el filtro de los medios de comunicación y salen a la palestra noticias de corrupción, evasión fiscal o trabajadores explotados en negro. No reparamos en que toda esa delincuencia sigue con fidelidad milimétrica la máxima apuntada antes del darwinismo social en sentido estricto: son los más listos de la clase, los más fuertes, los que llevan la moral de la lucha por la existencia a su expresión más extrema, es decir, acaparar todo lo que se pueda por cualquier medio a su alcance. 

Pero, claro, es obvio que esa moral no debe aplicarse a la sociedad en su conjunto porque las relaciones se convertirían en un caos incontrolable. Es preciso pues una moral adaptada a los perdedores, una ética estricta que introduzca el miedo y la resignación en las amplias y mayoritarias capas de los obligados a trabajar para ganarse la vida, desde las clases medias a las trabajadoras pasando por los marginados y pobres de solemnidad. 

Y esa moral de rapiña para la crema social encontró en la religión un aliado excepcional. Sobre todo en las advocaciones monoteístas, que priman con el más allá deslumbrante el silencio cómplice y alienado de los corderos, de aquellos que se juzgan a sí mismos como culpables de los pecados de la estructura ideológica, política y social. 

Desde las derechas y sus compañeros de viaje de la izquierda nominal hace largas décadas que se vienen denostando las alternativas ideológicas al régimen capitalista, dejando únicamente los marcos políticos y sociales como cauces controlados para la participación de las masas, conductos reglamentados para servir al orden establecido. 

Y mientras las izquierdas se doblegan al relato único de la posmodernidad, el cual predica a diestro y siniestro el fin de las ideologías, la globalización neoliberal triunfa por doquier a costa de explotar aún más los recursos naturales y el factor trabajo humano con una merma de derechos alarmantes. 

El futuro, sin alternativas ideológicas críticas, se llama Nueva Edad Media: masas consumiendo sin parar fruslerías a toneladas y pobres desharrapados muriendo de hambre en la periferia del mundo o ahogándose en los mares que los separan de la riqueza de cartón piedra capitalista. 

Compitiendo hasta la extenuación por las migajas sobrantes que caen desde los mercados financieros no es una solución digna. Sigamos el ejemplo de las distintas inteligencias animales: la ayuda mutua ofrece luz al final del túnel. De hecho, el ser humano ya ha explotado esta vía en múltiples ocasiones: la rebelión antiesclavista de Espartaco, la Comuna de París, la penicilina de Pasteur, llegar a la Luna… (sume y siga) son hitos memorables de la concatenación de esfuerzos para hallar caminos solidarios hacia el porvenir. 

La competitividad solo da beneficios a unos pocos. Dentro de la estructura mental de la lucha por la existencia de todos contra todos, solo ganan los más inmorales, aquellos, parafraseando a Groucho Marx, que tienen principios… y si no les va bien con ellos, guardan otros en su alforja ambivalente. De ese fariseísmo beben sus vientos morales y su doctrina ideológica los poderes de este mundo. Y lo peor de todo es la idolatría del éxito que profesan las masas menos politizadas: sus iconos venerados les quitan hasta la última gota de razón crítica para pensar su realidad por sí mismos.

“Tan raro como una naranja de relojería”

Por si tenéis un ratico para reflexionar.

Una queja y una observación. La deriva semántica hace de "los políticos" una categoría que reconduce a la impotencia y la inacción, porque "intervenir políticamente", valga la redundancia, ¿lo convierte a uno en "político"?

Y participar grupalmente ¿desemboca en el denostado "partidismo político"?

Aprendamos a aventar la paja sin desperdiciar el grano.

Aparte de esta obviedad para avisados, merece la pena "perder" un rato leyendo estas cosas.

Porque más vale perder un tiempo para ganar tiempo que ganar tiempo para perderlo. ¿O es al revés?

Una naranja mecánica (1971)

 

El cambio que niegan los políticos y siguen soñando los jóvenes

Luis Carlos Muñoz Sarmiento

Rebelión

Perspectiva unificada XII

Capítulo X

Modelos corpóreos
 

Aquí empezó la cosa...

...y aquí acaba. Salvo este capítulo extra, prometido, cuyas figuras pueden recortarse y componerse, modelos para ayudar a repasar los conceptos y las figuras del libro.

Para ello las páginas pueden imprimirse en tamaño A4.

Y pueden descargarse en este enlace.

El cubo, con sus tres direcciones ortogonales, con la apilabilidad infinita que las conserva y prolonga indefinidamente, es la base de la concepción cartesiana del espacio. 

Las direcciones que controla esa unidad cúbica no son únicamente esas tres ortogonales de sus aristas, sino que a ellas hay que añadir las de sus cuatro diagonales y las seis de las diagonales de sus caras. Eso nos da trece direcciones, que se proyectan al infinito en trece puntos impropios. Tal es la constelación que nos haría controlar desde el firmamento nuestro espacio, si pudiéramos materializarlos en otros tantos astros.

Y al igual que una fotografía del firmamento es su proyección plana desde un punto de vista, podremos proyectar esos trece astros sobre un plano desde un punto cualquiera y tendremos sobre él trece puntos límite para controlar el espacio.

Como esas direcciones están en el cubo en forma de sus ejes de simetría (los tres ejes cuaternarios paralelos a sus aristas, los cuatro ternarios que son sus diagonales y los seis binarios paralelos a las diagonales de sus caras), cualquier sección plana del cubo que corte a esos ejes materializará las proyecciones de los trece astros imaginarios que las gobiernan desde el infinito.

Cada sección del cubo, por lo tanto, nos proporciona un sistema de proyección central, un procedimiento para construir perspectivas, sea proyectando desde el mismo centro del poliedro, sea haciéndolo desde un vértice.

Aprenderemos entonces a cortar el cubo, pero señalando, a diferencia de la imagen que sigue, los ejes y planos de simetría que seccionamos.

Un espacio cartesiano es continuo, homogéneo e isótropo. Todos sus puntos y todas sus direcciones son equivalentes. Quiere esto decir que podemos trasladarnos de un lugar a otro y girarnos en cualquier dirección sin que cambien sus propiedades geométricas. Por eso se toma como unidad de medida. Por eso mismo elegimos, para realizar cualquier proyección, la figura del cubo, situando el punto de vista en uno de sus vértices y tomando las aristas que concurren en él como direcciones que permiten situar y proyectar los puntos principales del infinito, siendo las caras concurrentes las que proyectan los horizontes de ese espacio.

Para comenzar, no partiré del cubo, sino de un paralelepípedo cualquiera, en el que también hay aristas, diagonales de caras y diagonales interiores del propio sólido. El espacio regido será un espacio euclídeo.

Así que ese espacio euclídeo, continuo y homogéneo, pero no necesariamente isótropo viene dado por tres direcciones y tres escalas arbitrarias. El punto de vista en ese caso reflejará un espacio deformado cuya unidad es un paralelepípedo oblicuo. Construiremos una sección del mismo que corte tres aristas contiguas, cuidando de marcar las direcciones de las diagonales seccionadas:

También podemos considerar un espacio que mantenga la ortogonalidad en tres direcciones, con escalas sin embargo arbitrarias. Y también será un espacio euclídeo:

Por último, esta será la figura para proyectar un espacio cartesiano. Las tres aristas cortadas son ortogonales, y además nos aseguramos la misma escala de medida sobre ellas:

Para construir los sólidos que materializan las figuras anteriores las facilito como recortables. Empezamos por el paralelepípedo oblicuo:

Y a continuación, los otros dos sólidos:

De igual modo podemos construir los sólidos completos. Siguen los paralelepípedos oblicuo y recto que regulan los espacios euclídeos. En ambos se ha señalado la sección que corresponde al plano de proyección:

 
Por último, el cubo que mide el espacio cartesiano, Señalando también su sección por el plano del cuadro:

Este rectángulo, recortado, plegado sobre su paralela media y pegadas ambas caras, servirá para situar, como plano del cuadro, el tetraedro que forman el punto de vista, los planos que proyectan los horizontes y el propio cuadro:



Y este será el tetraedro que podemos hacer coincidir sobre él::

 
A otra escala, construiremos el plano del cuadro, pero ahora completado con todos los horizontes y los trece puntos límite:

  
Construiremos también las dos partes del cubo seccionado:

Este otro cubo cortado nos dejará ver todos los ejes y planos de simetría:

 
Construid también estas figuras para ver cómo los sólidos cortados nos proporcionan informaciones interesantes sobre las relaciones del espacio con sus proyecciones planas.

Más piezas para el puzzle:

Y otras más:

En este cubo cortado podemos apreciar muy bien los puntos de fuga que utilizamos en las proyecciones centrales:

Y aquí dejo la otra parte del cubo. Comprobad las coincidencias. Es el espacio proyectado en el espejo retrovisor. El semiespacio que no vemos hacia delante, como si un ojo pudiera ver hacia el cogote:

 
Aquí y así termina el libro. En la corta edición que hizo la universidad, y que al parecer se puede adquirir aún, lo acompañan además unas láminas que reproducen en cartulina de tamaño A4 las imágenes más ilustrativas: los recortables y las perspectivas en relieve. Me está apeteciendo ponerlas también a vuestra disposición, así que, tal vez, como una coda...

(continúa un poquito más)