La expresión gráfica en la ingeniería (3-a)

Iniciado aquí el libro, y habiendo llegado por ahora hasta aquí, me ocuparé a continuación de los objetos elementales, punto, línea, superficie y cuerpo, con vistas a su representación. En principio, las líneas serán rectas, las superficies planas y los cuerpos poliédricos.

Este es el enlace para descargar el capítulo.

El grabado de Durero explica muy bien el método para realizar la proyección plana de un objeto tridimensional. Un punto fijo en la pared representa el punto de vista, centro de la proyección. La cuerda tensa hace el papel de rayo visual. El ayudante coloca su extremo en un punto del laúd, Un peso la mantiene tirante, y el artista mueve dos guías, horizontal y vertical, hasta que toquen la cuerda tensa. Luego hay que retirar la cuerda, cerrar la ventana que hará de cuadro sobre su bastidor y marcar en ella el punto hallado. Y vuelta a empezar...

Un método laborioso y tedioso. El dibujante avezado copiará directamente del natural, midiendo en todo caso con el propio lápiz las medidas aparentes con el brazo estirado. Pero pienso que Durero, con esta imagen, solo pretendía hacer comprensible con un ejemplo el procedimiento de la proyección.

Algo parecido, para fijar la idea, haré yo un poco más adelante.

Establecida ya la relación entre los contenidos de un plano objeto y su proyección en un plano imagen, haciendo lo mismo con múltiples planos del espacio tridimensional sobre un único plano imagen se puede obtener la imagen de un cuerpo poliédrico, y esta es la base para hacerlo luego con toda clase de cuerpos.

Sigue el contenido del capítulo.

Dos puntos no coincidentes definen una recta, tres no coincidentes ni colineales, un plano (y tres rectas situadas en él); cuatro puntos no coincidentes, ni colineales más de dos, ni coplanarios todos, crean ya un cuerpo en el espacio (y cuatro planos, cada uno definido por tres puntos y tres rectas; y seis rectas en total, cada una perteneciente a dos planos distintos). Este cuerpo, el más simple, es un tetraedro.

Dos rectas distintas pueden pertenecer a un mismo plano o cruzarse en el espacio. Y dos planos se cortan siempre en una recta o son paralelos, en cuyo caso diremos que se cortan en la recta del infinito.

Dos rectas que tienen un punto (propio) común definen un plano. Dos paralelas cualesquiera del espacio también definen siempre un plano, y tienen un punto (impropio) común, en el infinito. Tres rectas por un punto que no son del mismo plano definen tres planos, o un ángulo triedro. Tres paralelas no pertenecientes a un mismo plano definen tres planos, y también tienen un punto impropio común.

Vayamos complicando la cosa. Ahora son cuatro planos sin un punto común a todos ellos. Y veamos también el caso en que sí tienen un punto común, en el que forman un ángulo tetraedro.

También pueden concurrir en un punto más de cuatro rectas, formando un ángulo poliedro. Varios planos que encierren un espacio definen un poliedro convexo, siempre que ninguno de ellos lo atraviese.

En un poliedro convexo, el número de caras, sumado al de vértices, es siempre igual al de aristas más dos: C+V=A+2 (fórmula de Euler). Esto se cumple en el tetredro: 4+4=6+2.

Cualquier otro de estos poliedros puede obtenerse amputando vértices o aristas a un tetraedro, como quien hace cortes en una patata. Si el corte suprime un vértice, añade tres más, además de tres aristas y una cara, añadiendo al poliedro 1+(3-1)=3. La suma de ambas igualdades es otra igualdad, luego el nuevo poliedro sigue cumpliendo la fórmula.

Si el corte elimina una arista, crea otras cuatro y una cara, elimina dos vértices pero crea cuatro. Se añaden al poliedro 1+(4-2)=(4-1). Otra igualdad que, sumada a la anterior, la mantiene. La reiteración del proceso demuestra que todos los poliedros convexos realizan la fórmula.

Este proceso se puede realizar al revés, eliminando sucesivamente caras, aristas y vértices hasta llegar al tetredro. Puede comprobarse que dos caras no contiguas se cortan siempre fuera del espacio del poliedro, y tres caras cualesquiera concurren siempre en un punto, que puede ser exterior al poliedro.

Todas estas correspondencias de puntos y rectas de un poliedro se cumplen necesariamente en cualquier proyección plana del mismo.

Como tres puntos determinan siempre un plano, tres sobre tres aristas distintas definen un corte en el poliedro, y ese nuevo plano de corte y el de cualquier cara se cortan siempre en una recta, que puede pertenecer o no al sólido. También las intersecciones de tres caras cualesquiera concurren necesariamente en un punto, aunque no pertenezca al poliedro convexo.

Establecidas estas leyes, pasamos a efectuar las proyecciones de un sólido. Elegimos un ortoedro, paralelepípedo ortogonal, y lo situamos con dos caras paralelas al plano de proyección. Tomemos como punto de vista uno impropio, equivalente a una radiación de rectas paralelas (proyección paralela), y consideremos sucesivamente los casos de proyección ortogonal al plano y proyección oblicua.

En ambos casos hacemos pasar por cada punto A una recta OA y marcamos en el plano la intersección A0, que es la proyecciuón buscada. En el segundo, considerando además la proyección oblicua, trazamos por A la recta 1A para obtener A1.

Intentad seguir el rastro de estas líneas, prácticamente borradas en la imagen por problemas de reproducción (porque los originales los doy por perdidos junto a un ordenador que dio mucho juego, pero al que acabó por llegarle la obsolescencia programada). Es importante observar, en la proyección oblicua, los triángulos AA0A1 y BB0B1. El teorema de Tales aplicado a ellos nos dice que AA0 y BB0 son proporcionales a A0A1 y B0B1, lo que podemos traducir como que "la proyección oblicua desplaza todos los puntos obtenidos con la ortogonal en una misma dirección, y a una distancia proporcional a su distancia al plano de proyección". Los puntos más lejanos se desplazan de la vertical más que los cercanos. Los puntos del plano no se desplazan. Al sol, la sombra de dos personas es paralela, y la del más alto es más larga.

Consideremos ahora la proyección desde un punto propio V1 (proyección central). En primer lugar realizamos las proyecciones ortogonales, (en la dirección del vector O) OV1 y OA, obteniendores pectivamente V10 = P (punto principal) y A0. Por cada A se trazará también V1A. Se tiene así el punto A1, y quedan marcados en el plano  A0 y A1. Los puntos P, A0 y A1 están alineados, como lo están V1, A y A1. Ahora compararemos los triángulos, rectángulos y semejantes, V1V10A1 y AA0A1.  Nuevamente el teorema establece la iguadad de estas proporciones: V1V10 / AA0 = V1A1 / AA1 = V10A1 / A0A1. Para cada punto se procederá igualmente,.

Ahora cada proyección es única, alimeando el punto principal P con ambas proyecciones de cada punto, la central y la oblicua. La altura del punto no es proporcional al alejamiento de su proyección, que se dispara al infinito cuando esta altura iguala a la del punto de vista. La vista se distorsiona mucho si salimos de un entorno de P.

Ahora estamos en condiciones de abordar el problema práctico de realizar la proyección directamente sobre una lámina de dibujo.

(continua este capítulo)