Pero el procedimiento didáctico que voy a seguir no es este, sino el uso de una lámina de dibujo como plano en que proyectar puntos situados en su entorno inmediato. Por eso comenzaré invitando a nuestra protagonista pasiva, la lámina que empleaba en mis clases, sobre la que debo considerar el espacio que hay inmediatamente encima.
El vértice inferior izquierdo de la hoja será el origen de coordenadas, los bordes que parten de él los ejes coordenados x e y, mientras el eje z se eleva perpendicular al papel. Un punto A del espacio vendrá dado por sus coordenadas, las dos primeras representables directamente, y la tercera dada por una cota, distancia al plano. Las medidas, reales, se dan en milímetros.
Aunque poco, en esta reproducción se percibe con líneas de puntos el ortoedro cuyos vértices opuestos son el origen O y el punto A.
Sobre la hoja aparecerá esto, que es la proyección ortogonal del punto:
Algo más compleja es la proyección oblicua. Para realizarla usaremos tanto el vector ortogonal como el oblicuo, y la proyección ortogonal de este último sobre el plano del dibujo.
Hemos de imaginar que aplicamos ambos vectores libres al punto A del espacio y a un punto del plano de dibujo. Ambas aplicaciones se producen en dos planos paralelos ortogonales al primero ("planos proyectantes"). Podemos dibujarlos sobre éste si los giramos simultáneamente sobre sus trazas en él ("charnelas"). Es fácil hacerlo a partir de las coordenadas del vector. Aplicando el extremo del vector al origen de coordenadas, esas coordenadas serán las del origen del vector, pero será más cómodo hacer esta operación en otro punto de la hoja, puesto que se trata de un vector libre..
Las dos primeras coordenadas darán su proyección ortogonal v' y la tercera, trazada sobre el papel perpendicularmente a ella, nos sitúa el vector "abatido" (v) sobre la lámina.
Por la proyección ortogonal de A, A', trazamos una paralela a v', que será la charnela sobre la que abatiremos el otro plano proyectante. Llevamos la cota de A perpendicularmente a ella y obtenemos (A), y aplicándole (v) obendremos A", que sobre la charnela es la proyección oblicua buscada.
Todo ello efectuado, no en el espacio, sino en la propia lámina:
Abordemos ahora la proyección central, con un punto de vista propio V. que por comodidad situaremos en el centro de la lámina a una altura, dada por su cota, tal que quepa en ella una circunferencia cuyo radio sea la cota. La llamaremos circunferencia de distancias, y sus puntos marcarán todos los abatimientos posibles del punto de vista V.
Esto es de entrada lo que aparecerá en la hoja, La proyección de V es V' = P, punto principal, y la cota de V es el radio de la circunferencia de distancia.
Para hacer la proyección central de un punto A lo proyectaremos ortogonalmente en A'. VV' y AA' determinan un plano que abatiremos sobre su charnela, obteniendo A", que es la proyección buscada.
Por lo tanto, lo que habríamos de hacer en el espacio somos capaces de hacerlo ahora, gracias al concepto de abatimiento, en el plano, y A" aparece en la intersección de V'A' y (V)(A).
Lo que hemos aprendido sobre las proyecciones oblicua y central de un punto podemos hacerlo extensivo a más de uno. Veamos primero la proyección ortogonal y de un segmento dado por sus extremos A y B:
Y ahora la proyección oblicua, primero en el espacio, donde hay tres planos proyectantes, para el vector y para los extremos del segmento, que abatiremos:
Limpiamente, todo ello aparece reflejado en el plano de dibujo:
Vamos a hacer la proyección central del mismo segmento. Ahora, no existe el plano proyectante para el vector, porque no lo hay, y los planos proyectantes de A y B no son paralelos, sino que se cortan en VV'. Los abatimientos respectivos de V son (V)A y (V)B, y así obtenemos A" y B".
Todo efectuado sin salir del plano de la lámina:
La circunferencia de distancia, además de su papel facilitador de los abatimientos de V, es un indicador de la distorsión de la imagen. Los puntos cuya proyección queda fuera de ella proporcionan imágenes difíciles de ver e interpretar, y en definitiva poco creíbles. La razón de ello está en nuestro campo visual, que no capta imágenes mucho más allá de una separación de 45º de la mirada al frente. Y los puntos exteriores a la circunferencia forman ángulos mayores.
Lo hecho para uno y dos puntos, lo extenderemos a tres puntos, que definen un plano, o cuatro, representantes de un sólido, y podemos hacerlo para cualquier número de puntos. Resulta un proceso laborioso, aunque algo menos que el de Durero de la cuerda y el marco móviles.
Y tengo la esperanza de que resulte casi tan didáctico como aquél.
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